2昭和大学 2016年 数学 第2問解答・解説

(1-1) 定義式から $$\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{d} =\vec{a}\cdot\vec{b}-\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|^2}(\vec{a}\cdot\vec{a}) =\vec{a}\cdot\vec{b}-(\vec{a}\cdot\vec{b})=0.$$

(1-2) $\vec{a}\cdot\vec{d}=0$ なので、$\vec{e}$ の定義を $\vec{d}$ と内積をとると $$\displaystyle \vec{e}\cdot\vec{d} =\vec{c}\cdot\vec{d}-\frac{\vec{a}\cdot\vec{c}}{|\vec{c}|^2}(\vec{a}\cdot\vec{d}) -\frac{\vec{d}\cdot\vec{c}}{|\vec{d}|^2}(\vec{d}\cdot\vec{d}) =\vec{c}\cdot\vec{d}-0-\vec{d}\cdot\vec{c}=0.$$

(2) 平行四辺形の対角線は互いに中点で交わるから、複素数で表すと $$\displaystyle \frac{\alpha+\gamma}{2}=\frac{\beta+\delta}{2},\qquad \delta=\alpha+\gamma-\beta.$$ よって $$\delta=(1+i)+(-1-2i)-(3-7i)=-3+6i.$$

(3-1) 第 $k$ 項は $k$ 個の1を並べた数である。等比数列の和を用いて $$\displaystyle a_k=1+10+10^2+\cdots+10^{k-1}=\frac{10^k-1}{9}.$$

(3-2) 初項から第 $n$ 項までの和は $$\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{k=1}^{n}a_k &=\frac19\left(\sum\limits _{k=1}^{n}10^k-n\right)\\ &=\frac19\left(\frac{10(10^n-1)}9-n\right)\\ &=\frac{10^{n+1}-10-9n}{81}. \end{aligned}$$