I慶應義塾大学 2020年 数学 第I問解答・解説

(1) $\overrightarrow{OA}=(1,0,a)$、$\overrightarrow{OB}=(0,1,b)$ より、平面 $\alpha$ の法線ベクトルとして $(-a,-b,1)$ がとれる。したがって $\alpha$ の方程式は $$-ax-by+z=0$$ である。$xy$ 平面では $z=0$ だから、交線 $\ell$ は $ax+by=0$ を満たす。$b>0$ より、その方向ベクトルは $\displaystyle (1,-\frac ab,0)$ とできるので、$\displaystyle (あ)=-\frac ab$。

$xy$ 平面の法線ベクトルを $(0,0,1)$ とすると、二平面のなす角の余弦は法線ベクトルの内積から $$\displaystyle \cos\theta=\frac{|(-a,-b,1)\cdot(0,0,1)|}{\sqrt{a^2+b^2+1}}=\frac1{\sqrt{a^2+b^2+1}}.$$ よって $\displaystyle (い)=\frac1{\sqrt{a^2+b^2+1}}$。

(2) $x>0$ で $$\displaystyle f(x)=(\log x)x^{-1/2},\qquad f'(x)=x^{-3/2}\left(1-\frac12\log x\right).$$ 分母は常に正であり、$f'(x)>0$ は $x<e^2$、$f'(x)<0$ は $x>e^2$ のとき成り立つ。したがって最大値をとるのは $x=e^2$ で、$(う)=e^2$。また $f(x)=0$ は $x=1$ であり、$1<x<e^2$ では $f(x)>0$ なので、図形 $D$ は $x=1$ から $x=e^2$ までの部分である。

部分積分により $$\displaystyle \int \frac{\log x}{\sqrt{x}}\,dx =2\sqrt{x}\log x-4\sqrt{x}$$ だから、面積は $$\displaystyle \int_1^{e^2}\frac{\log x}{\sqrt{x}}\,dx =\left[2\sqrt{x}(\log x-2)\right]_1^{e^2}=4.$$ よって $(え)=4$。回転体の体積は円板法で $$\displaystyle \pi\int_1^{e^2}\left(\frac{\log x}{\sqrt{x}}\right)^2 dx =\pi\int_1^{e^2}\frac{(\log x)^2}{x}\,dx.$$ ここで $u=\log x$ と置換すると積分区間は $0$ から $2$ となり、 $$\displaystyle \pi\int_0^2u^2\,du=\frac{8\pi}{3}.$$ したがって $\displaystyle (お)=\frac{8\pi}{3}$。

(3) $\alpha=A+Bi$ とおくと $$\alpha z+\bar\alpha\bar z=2(Ax-By).$$ これを $3x-4y$ と一致させると $\displaystyle A=\frac32,\ B=2$ だから、$\displaystyle (か)=\frac32+2i$。

$\ell$ は $z=0$ を含まないので $w=1/z\ne0$ とおける。直線の式に $z=1/w$ を代入して両辺に $|w|^2$ を掛けると $$\alpha\bar w+\bar\alpha w+|w|^2=0,$$ すなわち $$\displaystyle |w+\alpha|^2=|\alpha|^2=\frac{25}{4}.$$ よって円の中心は $\displaystyle -\alpha=-\frac32-2i$、半径は $\displaystyle \frac52$ である。したがって $\displaystyle (き)=-\frac32-2i,\ (く)=\frac52$。

次に $\beta=u+vi$ とすると、点 $z=x+yi$ が線分 $O B(\beta)$ の垂直二等分線上にある条件は $|z|=|z-\beta|$ であり、両辺を二乗して整理すると $$2ux+2vy=u^2+v^2$$となる。$\displaystyle u=-\frac6{25},\ v=\frac8{25}$ とすれば、この式は $$\displaystyle -\frac{12}{25}x+\frac{16}{25}y=\frac4{25},$$ すなわち $3x-4y+1=0$ となる。ゆえに $\displaystyle (け)=-\frac6{25}+\frac8{25}i$。

直線 $\ell$ の法線ベクトルは $(3,-4)$ であるから、原点から $\ell$ に下ろした垂線の足は $$\displaystyle P_0=\left(-\frac3{25},\frac4{25}\right),\qquad z_0=\frac{-3+4i}{25}.$$ $\ell$ の単位方向ベクトルを $\displaystyle (\frac45,\frac35)$ とし、$\displaystyle Q=P_0+t(\frac45,\frac35)$ とおく。$OP_0$ とこの方向は垂直なので $$\displaystyle |OQ|^2=\frac1{25}+t^2,\qquad \overrightarrow{OP_0}\cdot\overrightarrow{OQ}=\frac1{25}.$$ 角 $P_0OQ$ が $\displaystyle \frac\pi4$ である条件は $$\displaystyle \frac{1/25}{(1/5)\sqrt{1/25+t^2}}=\frac1{\sqrt2},$$ したがって $\displaystyle t^2=\frac1{25}$、すなわち $\displaystyle t=\pm\frac15$。それぞれ $$\displaystyle t=-\frac15:\quad z=\frac{-7+i}{25},\qquad t=\frac15:\quad z=\frac{1+7i}{25}.$$ 実部が小さい方を $z_1$ とするので、$\displaystyle (こ)=\frac{-7+i}{25},\ (さ)=\frac{1+7i}{25}$。どちらも $3x-4y+1=0$ を満たし、$\displaystyle |z_0|=\frac15$、$\displaystyle |z_1|=|z_2|=\frac{\sqrt2}{5}$ かつ $\displaystyle \overrightarrow{OP_0}\cdot\overrightarrow{OQ_j}=\frac1{25}$ であるため、二つの角がともに $\displaystyle \frac\pi4$ であることも確認できる。