IV慶應義塾大学 2020年 数学 第IV問解答・解説

(1)　 $b>0,\ c>0$ なので $A>0$ である。面積を積分すると $$\displaystyle A=\int_0^{\sqrt c}b\left(1-\frac{x^2}{c}\right)\,dx =b\left(\sqrt c-\frac{\sqrt c}{3}\right) =\frac{2b\sqrt c}{3}.$$ よって $(\text{あ})$ は $$\displaystyle b=\frac{3A}{2\sqrt c}.$$

(2)　 $t=x^2\ (0\leq t\leq c)$ とおき、$R(t)=r(\sqrt t)^2$ とする。上で求めた $b$ を代入すると $$\displaystyle R(t)=t+\frac{9A^2}{4c}\left(1-\frac{t}{c}\right)^2,\qquad R'(t)=1-\frac{9A^2}{2c^2}\left(1-\frac{t}{c}\right).$$ $c\geq3A/\sqrt2$ なら $9A^2/(2c^2)\leq1$ であり、 $0\leq1-t/c\leq1$ だから $R'(t)\geq0$ である。 $r(x)>0$ なので $r(x)$ は $0\leq x\leq\sqrt c$ で増加する。 したがって $$\displaystyle (\text{い})=\frac{3A}{\sqrt2}.$$

一方、$0<c<3A/\sqrt2$ のときは $R'(0)<0$、$R'(c)=1>0$ である。 $R'(t)$ は $t$ の一次式だから、区間内にただ一つの零点がある。 $R'(t)=0$ より $$\displaystyle t_0=x_0^2=c\left(1-\frac{2c^2}{9A^2}\right).$$ この範囲では $0<t_0<c$ であり、$R$ は $t_0$ まで減少し、その後増加する。よって $x_0$ で最小となり、 $$\displaystyle (\text{う})\quad x_0=\sqrt{c\left(1-\frac{2c^2}{9A^2}\right)}.$$ また $1-t_0/c=2c^2/(9A^2)$ を $R(t_0)$ に代入して $$\displaystyle r_0^2=R(t_0) =c\left(1-\frac{2c^2}{9A^2}\right) +\frac{9A^2}{4c}\left(\frac{2c^2}{9A^2}\right)^2 =c-\frac{c^3}{9A^2}.$$ したがって $$\displaystyle (\text{え})\quad r_0=\sqrt{c-\frac{c^3}{9A^2}}.$$

(3)　 $r_0>0$ だから、$r_0$ の最大化は $r_0^2$ の最大化と同じである。 $$\displaystyle h(c)=r_0^2=c-\frac{c^3}{9A^2},\qquad h'(c)=1-\frac{c^2}{3A^2}.$$ $0<c<3A/\sqrt2$ の範囲に $\sqrt3 A$ が含まれ、 $h'(c)>0$ は $c<\sqrt3 A$、$h'(c)<0$ は $c>\sqrt3 A$ である。 したがって $$(\text{お})\quad c=\sqrt3 A$$ で最大となる。このとき $$\displaystyle x_0^2=\frac{A}{\sqrt3},\qquad r_0^2=\frac{2A}{\sqrt3}.$$ 線分 $O(x_0,f(x_0))$ の長さは $r_0$、水平成分は $x_0>0$ なので $$\displaystyle \cos\theta=\frac{x_0}{r_0} =\sqrt{\frac{x_0^2}{r_0^2}} =\frac1{\sqrt2}.$$ よって $(\text{か})=1/\sqrt2$ である。

(4)　 $b=3A/(2\sqrt c)$ より $$\displaystyle f'(x)=-\frac{2bx}{c}=-\frac{3Ax}{c^{3/2}},\qquad L(c)=\int_0^{\sqrt c}\sqrt{1+\frac{9A^2x^2}{c^3}}\,dx.$$ $c\to\infty$ では、問題文の不等式に $s=1$、 $t=9A^2x^2/c^3$ を入れると $$\displaystyle 1\leq\sqrt{1+\frac{9A^2x^2}{c^3}} \leq1+\frac{3Ax}{c^{3/2}}.$$ これを積分して $$\displaystyle \sqrt c\leq L(c)\leq\sqrt c+\frac{3A}{2\sqrt c},\qquad 1\leq\frac{L(c)}{\sqrt c}\leq1+\frac{3A}{2c}.$$ 両端は $c\to\infty$ で 1 に収束するから $$\displaystyle \lim\limits _{c\to\infty}\frac{L(c)}{\sqrt c}=1.$$

次に $c\to+0$ では同じ不等式に $s=9A^2x^2/c^3$、$t=1$ を入れて $$\displaystyle \frac{3Ax}{c^{3/2}} \leq\sqrt{1+\frac{9A^2x^2}{c^3}} \leq1+\frac{3Ax}{c^{3/2}}.$$ 積分し、さらに $\sqrt c$ を掛けると $$\displaystyle \frac{3A}{2}\leq\sqrt c\,L(c)\leq c+\frac{3A}{2}.$$ 両端は $c\to+0$ で $3A/2$ に収束するので $$\displaystyle \lim\limits _{c\to+0}\sqrt c\,L(c)=\frac{3A}{2}.$$