9千葉大学 2003年 数学 第9問解答・解説

採用解説：第9問

関数 $f$ はすべての実数で定義され、微分可能である。

(1)

命題は誤りである。$f(x)=x^3$ とおく。$x_1<x_2$ のとき $$x_2^3-x_1^3=(x_2-x_1)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)>0,$$ となる。実際、 $$\displaystyle x_1^2+x_1x_2+x_2^2=\left(x_1+\frac{x_2}{2}\right)^2+\frac{3}{4}x_2^2$$ は、$x_1=x_2=0$ の場合に限り $0$ であり、その場合は $x_1<x_2$ に反する。したがって $f$ は狭義単調増加である。一方、 $$f'(x)=3x^2,\qquad f'(0)=0$$ なので、すべての実数 $x$ で $f'(x)>0$ とはいえない。

(2)

命題は誤りである。$f(x)=1-e^{-x}$ とおくと、すべての実数 $x$ で微分可能であり、 $$f(0)=0,\qquad f'(x)=e^{-x}>0.$$ しかし、$x\to+\infty$ のとき $e^{-x}\to0$ だから $$\displaystyle \lim\limits _{x\to+\infty}f(x)=1$$ であり、極限は $+\infty$ ではない。

(3)

命題は正しい。$0\le u<v$ に平均値の定理を適用すると、$u<c<v$ を満たすある $c$ が存在して $$f(v)-f(u)=f'(c)(v-u)>0$$ となる。よって $f$ は $x\ge0$ で狭義単調増加し、特に $f(1)>f(0)=0$ である。したがって $t\ge1$ なら $f(t)\ge f(1)>0$ である。

$f$ は微分可能なので連続であり、$\displaystyle C=\int_0^1 f(t)\,dt$ は有限である。$x\ge1$ に対して $$\displaystyle \int_0^x f(t)\,dt =C+\int_1^x f(t)\,dt \ge C+(x-1)f(1).$$ $f(1)>0$ だから右辺は $x\to+\infty$ で $+\infty$ に発散する。よって $$\displaystyle \lim\limits _{x\to+\infty}\int_0^x f(t)\,dt=+\infty.$$