4千葉大学 2003年 数学 第4問解答・解説

(1) 漸化式の両辺に $n$ を掛け、$b_n=na_n$ とおくと、$n\ge2$ に対して $$b_n=na_n=1+(n-1)a_{n-1}=1+b_{n-1}$$ となる。初項は $b_1=a_1=2$ であるから、帰納的に $b_n=n+1$。したがって $$\displaystyle \boxed{a_n=\frac{n+1}{n}=1+\frac1n}.$$

(2) (1)を用いると $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}k^2a_k =\sum\limits _{k=1}^{n}k^2\frac{k+1}{k} =\sum\limits _{k=1}^{n}(k^2+k).$$ 平方和と自然数の和の公式から $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}k^2a_k =\frac{n(n+1)(2n+1)}6+\frac{n(n+1)}2 =\boxed{\frac{n(n+1)(n+2)}3}.$$ いずれの式も $n=1$ で $a_1=2$ および和の値 $2$ を与える。