1大分大学 2018年 数学 第1問解答・解説

フィボナッチ数を $F_1=F_2=1$、$F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ で定める。$a_1=F_2/F_1$。また、$a_n=F_{n+1}/F_n$ と仮定すると $$\displaystyle a_{n+1}=1+\frac1{a_n}=1+\frac{F_n}{F_{n+1}}=\frac{F_{n+1}+F_n}{F_{n+1}}=\frac{F_{n+2}}{F_{n+1}}.$$ よって帰納法により、 $$\displaystyle a_n=\frac{F_{n+1}}{F_n}.$$

$\phi=(1+\sqrt5)/2$、$\psi=(1-\sqrt5)/2$ とする。フィボナッチ数の明示式 $F_n=(\phi^n-\psi^n)/\sqrt5$ を用いると $$\displaystyle a_n=\frac{\phi^{n+1}-\psi^{n+1}}{\phi^n-\psi^n}\longrightarrow \phi=\frac{1+\sqrt5}{2},$$ となる。ここで $|\psi/\phi|<1$ なので、$n$ が大きくなるにつれて $\psi$ の項の比は0に近づく。

フィボナッチ数を$F_1=F_2=1$、$F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$で定めます。$a_1=F_2/F_1$です。$a_n=F_{n+1}/F_n$なら、漸化式から$\displaystyle a_{n+1}=1+\frac{F_n}{F_{n+1}}=\frac{F_{n+2}}{F_{n+1}}$となるため、この形がすべてのnで成り立ちます。さらにフィボナッチ数の明示式を使うと、$a_n$は$\displaystyle \frac{\phi^{n+1}-\psi^{n+1}}{\phi^n-\psi^n}$です。$\displaystyle |\frac{\psi}{\phi}|<1$なので、nが大きくなるとψの項は相対的に消え、極限は$\displaystyle \phi=\frac{1+\sqrt5}{2}$です。