3大分大学 2018年 数学 第3問解答・解説

円は $x^2+(y-1)^2=1$、点 $A$ における接線は $y=2$ である。原点を通る直線が有限傾き $t$ をもつとき、円との交点のうち $O$ でない方は $$\displaystyle Q=\left(\frac{2t}{1+t^2},\frac{2t^2}{1+t^2}\right)\quad(t\ne0).$$ この直線と $y=2$ の交点は $R=(2/t,2)$ であるから、定義より $$\displaystyle P=\left(\frac2t,\frac{2t^2}{1+t^2}\right).$$ $x=2/t$ とおけば $y=8/(x^2+4)$。垂直線 $x=0$ の場合は $Q=A$, $R=A$, $P=A$ となり、式も $f(0)=2$ を与える。有限傾き $t\ne0$ は任意なので、軌跡は全実数 $x$ に対する $$\displaystyle f(x)=\frac8{x^2+4}$$ である。

$$\displaystyle f'(x)=\frac{-16x}{(x^2+4)^2},\qquad f''(x)=\frac{16(3x^2-4)}{(x^2+4)^3}.$$ 従って $f$ は $x<0$ で増加し、$x>0$ で減少する。最大値は $f(0)=2$。$f^{\prime\prime}(x)<0$ となる $-2/\sqrt3<x<2/\sqrt3$ では上に凸、$f^{\prime\prime}(x)>0$ となる $x<-2/\sqrt3$ または $x>2/\sqrt3$ では下に凸である。変曲点は $x=\pm2/\sqrt3$ で、そのとき $y=3/2$。また $f$ は偶関数で常に正、$|x|\to\infty$ で $f(x)\to0$。

最後の面積は $$\displaystyle \int_{-2}^{2\sqrt3}\frac8{x^2+4}\,dx =4\left[\arctan\frac x2\right]_{-2}^{2\sqrt3} =4\left(\frac\pi3+\frac\pi4\right)=\frac{7\pi}3.$$

円の式と直線の傾きからQを媒介表示し、接線との交点Rを使ってxを消去すると $f(x)=8/(x^2+4)$ となる。垂直な直線の場合も点$P=(0,2)$を与えるため、定義域は実数全体である。導関数・二階導関数から増減と凹凸が定まり、指定区間で積分して面積 $7\pi/3$ を得る。