5山形大学 2017年 数学 第5問解答・解説

(1) 曲線 C の導関数は $\displaystyle y'=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ である。$q=\sqrt{p^2+1}$ とおくと、点 $P(p,q)$ における接線は$$\displaystyle y-q=\frac pq(x-p),\quad y=\frac{px+1}{q}.$$ よって $x$-切片は $a=-1/p$ である。

(2) $0\le x\le p$ では C が外側、L が内側の半径となる。$$\displaystyle \begin{aligned}V&=\pi\int_0^p\left((x^2+1)-\frac{(px+1)^2}{p^2+1}\right)dx\\&=\frac{\pi}{p^2+1}\int_0^p(p-x)^2dx=\frac{\pi p^3}{3(p^2+1)}.\end{aligned}$$

(3) 積の微分と対数の微分より$$\displaystyle \begin{aligned}f'(x)&=\sqrt{x^2+1}+\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{1+x/\sqrt{x^2+1}}{x+\sqrt{x^2+1}}\\&=\frac{2x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}+\frac1{\sqrt{x^2+1}}=2\sqrt{x^2+1}.\end{aligned}$$

(4) $p=2$ では $a=-1/2$、$L:y=(2x+1)/\sqrt5$ であり、$-1/2\le x\le2$ の範囲では C が L の上にある。(3) より $f'(x)=2\sqrt{x^2+1}$ なので$$\displaystyle \begin{aligned}S&=\int_{-1/2}^{2}\left(\sqrt{x^2+1}-\frac{2x+1}{\sqrt5}\right)dx\\&=\left[\frac{f(x)}2-\frac{x^2+x}{\sqrt5}\right]_{-1/2}^{2}\\&=\frac12\log\frac{2(2+\sqrt5)}{\sqrt5-1}-\frac{\sqrt5}{8}\\&=\frac12\log\frac{7+3\sqrt5}{2}-\frac{\sqrt5}{8}.\end{aligned}$$

接線式から交点を求め、回転体は円環法で計算する。指定関数を微分して面積積分の原始関数に利用する。