4金沢医科大学 2021年 数学 第4問解答・解説

曲線 $C$ は $y=\log(3x)\ (x>0)$ であり，導関数は $1/x$ である。$x=t$ における接線は $$\displaystyle y=\log(3t)+\frac{x-t}{t} =\frac{x}{t}+\log(3t)-1.$$ これが $(2t,2)$ を通るので $$\displaystyle 2=2+\log(3t)-1,\qquad \log(3t)=1,\qquad t=\frac e3.$$ したがって $P=(e/3,1)$，接線の傾き $a=1/t=3/e$，切片 $b=0$，すなわち $\ell:y=3x/e$ である。

曲線 $C$ の $x$ 軸との交点は $x=1/3$，直線 $\ell$ の $x$ 軸との交点は $x=0$。また $1/3\leq x<e/3$ では $$\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\frac{3x}{e}-\log(3x)\right)=\frac3e-\frac1x<0$$ で，差は $x=e/3$ で0となるから，この区間では $\ell$ が $C$ の上側にある。従って囲まれた部分の面積は $$\displaystyle \begin{aligned} [ D ]&=\int_0^{e/3}\frac{3x}{e}\,dx-\int_{1/3}^{e/3}\log(3x)\,dx\\ &=\frac e6-\left[x\log(3x)-x\right]_{1/3}^{e/3} =\frac e6-\frac13. \end{aligned}$$

回転体の断面を考える。$0\leq x\leq1/3$ では半径 $3x/e$ の円盤，$1/3\leq x\leq e/3$ では外半径 $3x/e$，内半径 $\log(3x)$ の円環となる。よって $$\displaystyle \begin{aligned} V &=\pi\left\{\int_0^{e/3}\left(\frac{3x}{e}\right)^2dx -\int_{1/3}^{e/3}\{\log(3x)\}^2dx\right\}\\ &=\pi\left\{\frac e9-\frac13\int_1^e(\log u)^2du\right\} \qquad(u=3x). \end{aligned}$$ 部分積分により $$\displaystyle \int(\log u)^2du=u\{(\log u)^2-2\log u+2\}+C$$ だから $$\displaystyle \int_1^e(\log u)^2du=e-2.$$ したがって $$\displaystyle V=\pi\left\{\frac e9-\frac{e-2}{3}\right\} =\frac29\pi(3-e).$$

検算として，$e/6-1/3>0$ は $e>2$ から従い，体積は上の円盤・円環の断面積を積分して得た正の量である。接点 $P=(e/3,1)$ を接線 $y=3x/e$ に代入すると $y=1$，また $(2t,2)=(2e/3,2)$ も同じ直線上にある。