5獨協医科大学 2019年 数学 第5問解答・解説

2曲線が接する点の$x$座標を$x_0$とする。接点で関数値と導関数が一致するから $$\displaystyle ax_0^2+1=2\log x_0,\qquad 2ax_0=\frac2{x_0}.$$ 第2式より$ax_0^2=1$。これを第1式に代入すると$2=2\log x_0$なので$x_0=e$、$a=e^{-2}$。実際、$h(x)=x^2/e^2+1-2\log x$とおくと、$\displaystyle h\prime(x)=\frac2x(\frac{x^2}{e^2}-1)$は$0<x<e$で負、$x>e$で正であり、$h(e)=0$。従って共有点はこの1点だけである。

(1) $1\leq x\leq e$で$C_1$が$C_2$の上側にあるので $$\displaystyle T=\int_1^e\left(\frac{x^2}{e^2}+1-2\log x\right)dx =\left[\frac{x^3}{3e^2}+3x-2x\log x\right]_1^e =\frac43e-\frac1{3e^2}-3.$$ 回転体は円筒殻で考えると $$\displaystyle V_1=2\pi\int_1^e x\left(\frac{x^2}{e^2}+1-2\log x\right)dx =2\pi\left[\frac{x^4}{4e^2}+x^2-x^2\log x\right]_1^e =\frac12\left(e^2-\frac1{e^2}-4\right)\pi.$$

(2) $C_2$の導関数は$2/x$である。従って弧長は $$\displaystyle L=\int_{\sqrt5}^{2\sqrt3}\sqrt{1+\frac4{x^2}}\,dx =\int_{\sqrt5}^{2\sqrt3}\frac{\sqrt{x^2+4}}x\,dx.$$ $t=\sqrt{x^2+4}$とおくと$dx=(t/x)dt$、積分区間は$3\leq t\leq4$となるので $$\displaystyle L=\int_3^4\frac{t^2}{t^2-4}dt =\int_3^4\left(1+\frac1{t-2}-\frac1{t+2}\right)dt =\left[t+\log\left|\frac{t-2}{t+2}\right|\right]_3^4 =1+\log\frac53.$$