2東海大学 2013年 数学 第2問解答・解説

(1)　 積の微分法と $(e^{-x})'=-e^{-x}$ より，$$f'(x)=e^{-x}-xe^{-x}=(1-x)e^{-x}.$$ よって $f'(0)=1$ であるから，点 $(0,0)$ における接線は $y=x$ である。極限については $x\ge0$ で $e^x\ge1+x$ である。実際，$e^x-1-x$ は $x=0$ で0，その導関数 $e^x-1$ は $x\ge0$ で非負である。そこで $g(x)=e^x-x^2/2$ とおくと，$g'(x)=e^x-x\ge1$，かつ $g(0)=1$ より $e^x\ge x^2/2$ である。したがって $0\le xe^{-x}\le2/x\ (x>0)$ となり，はさみうちの原理から $\displaystyle \lim\limits _{x\to\infty}xe^{-x}=0$。

(2)　 交点は $xe^{-x}=x/e^2$ を満たす。$x=0$ は一つの交点である。$x\ne0$ のとき両辺を $x$ で割ると $e^{-x}=e^{-2}$ となり，指数関数の一対一性から $x=2$。よって $p=2$ である。$0<x<2$ では $e^{-x}>e^{-2}$ なので曲線が直線の上にある。囲まれた面積は，$$\displaystyle \int_0^2\left(xe^{-x}-\frac{x}{e^2}\right)dx=\left[-(x+1)e^{-x}\right]_0^2-\left[\frac{x^2}{2e^2}\right]_0^2=1-\frac5{e^2}.$$

(3)　 $0\le x\le1$ では $f'(x)=(1-x)e^{-x}\ge0$ だから，曲線は $y=0$ から $y=1/e$ まで単調に増加する。高さ $y$ の断面は，回転軸から曲線までを半径とする円板である。$y=xe^{-x}$ とおいて $dy=(1-x)e^{-x}dx$ を用いると，$$\displaystyle V=\pi\int_0^{1/e}x^2\,dy=\pi\int_0^1x^2(1-x)e^{-x}dx=\pi(I_2-I_3),$$ ただし $\displaystyle I_2=\int_0^1x^2e^{-x}dx$，$\displaystyle I_3=\int_0^1x^3e^{-x}dx$ である。部分積分により，$$\displaystyle I_2=\left[-x^2e^{-x}\right]_0^1+2\int_0^1xe^{-x}dx=-\frac1e+2\left(1-\frac2e\right)=2-\frac5e,$$$$\displaystyle I_3=\left[-x^3e^{-x}\right]_0^1+3I_2=-\frac1e+3\left(2-\frac5e\right)=6-\frac{16}e.$$ よって $V=\pi\{(2-5/e)-(6-16/e)\}=\pi(11/e-4)$ である。