3東海大学 2013年 数学 第3問解答・解説

(1)　 余弦定理より，$$\displaystyle OB^2=OA^2+AB^2-2\cdot OA\cdot AB\cos30^\circ=25+27-2\cdot5\cdot3\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=7,$$ よって $OB=\sqrt7$ である。また，三角形の面積は$$\displaystyle \frac12\cdot OA\cdot AB\sin30^\circ=\frac12\cdot5\cdot3\sqrt3\cdot\frac12=\frac{15\sqrt3}{4}.$$

(2)　 余弦定理を $\angle AOB$ に用いると，$$\displaystyle \cos\angle AOB=\frac{OA^2+OB^2-AB^2}{2\cdot OA\cdot OB}=\frac{25+7-27}{10\sqrt7}=\frac{\sqrt7}{14}.$$ したがって，内積は$$\displaystyle \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=OA\cdot OB\cos\angle AOB=5\cdot\sqrt7\cdot\frac{\sqrt7}{14}=\frac52.$$

(3)　 $P$ は $O$ から $AB$ に下ろした垂線の足なので，直角三角形 $OAP$ で$$\displaystyle AP=OA\cos30^\circ=\frac{5\sqrt3}{2},\quad OP=OA\sin30^\circ=\frac52.$$ よって $AP/AB=(5\sqrt3/2)/(3\sqrt3)=5/6$ である。$H$ を求めるため，鏡映しても長さは変わらないので，$A=(0,0)$，$AB$ をx軸に取り，$B=(3\sqrt3,0)$，$O=(5\sqrt3/2,5/2)$ と置く。このとき直線 $OP$ は $x=5\sqrt3/2$ である。$OA$ の傾きは $1/\sqrt3$ だから，これに垂直で $B$ を通る直線は $y=-\sqrt3(x-3\sqrt3)$ である。これと直線 $OP$ との交点は $H=(5\sqrt3/2,3/2)$ となる。したがって $OH=1$ なので，$OH/OP=1/(5/2)=2/5$。さらに，$$\displaystyle BH=\sqrt{\left(3\sqrt3-\frac{5\sqrt3}{2}\right)^2+\left(0-\frac32\right)^2}=\sqrt{\frac34+\frac94}=\sqrt3.$$