2金沢大学 2010年 数学 第2問解答・解説

(1) 球の中心は $A(0,0,a)$ で、$B(\sqrt5,\sqrt5,a)$ は球面上にあるから $$r^2=|AB|^2=(\sqrt5)^2+(\sqrt5)^2=10.$$ よって $r=\sqrt{10}$ である。また、球面は点 $(1,0,-1)$ を通るので $$1+(-1-a)^2=10.$$ $a>0$ より $a+1=3$、したがって $a=2$ である。

(2) $A=(0,0,2)$ であるから $$\overrightarrow{AB}=(\sqrt5,\sqrt5,0),\qquad \overrightarrow{AP}=(\cos t,\sin t,-3).$$ したがって $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP} =\sqrt5\cos t+\sqrt5\sin t =\sqrt5(\cos t+\sin t).$$

(3) $$|\overrightarrow{AB}|^2=10,\qquad |\overrightarrow{AP}|^2=\cos^2t+\sin^2t+9=10.$$ $\phi=\angle BAP$ とすると、面積公式と内積から $$\displaystyle S=\frac12|\overrightarrow{AB}|\,|\overrightarrow{AP}|\sin\phi =\frac12\sqrt{|\overrightarrow{AB}|^2|\overrightarrow{AP}|^2- (\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP})^2}.$$ ここで $(\cos t+\sin t)^2=1+\sin2t$ だから $$\displaystyle S=\frac12\sqrt{100-5(\cos t+\sin t)^2} =\frac12\sqrt{95-5\sin2t}.$$ $\sin2t\leq1$ より $\displaystyle S\geq\dfrac12\sqrt{90}=\dfrac{3\sqrt{10}}2$。等号は $\sin2t=1$ のとき、すなわち $0\leq t\leq2\pi$ では $\displaystyle t=\dfrac{\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4}$ のときに成り立つ。よって、面積の最小値は $\displaystyle \dfrac{3\sqrt{10}}2$ で、そのときの $t$ は $\displaystyle \dfrac{\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4}$ である。