東京医科大学 2024年数学第3問解答・解説

1問題

東京医科大学2024年度第3問

解答上の共通注意：問題文中のア、イウなどの空欄には特に指示のない限り整数値が入る。ア、イ、ウ、…の一つ一つは符号（−）または数字（0〜9）のいずれか一つに対応する。分数形で解答する場合はそれ以上約分できない形とし、分数の符号は分子につける。

第3問 $O(0,0,0)$ を原点とする座標空間において、 $A(8,8,7)$ を中心とする球面 $S_1$ と $B(4,2,1)$ を中心とする球面 $S_2$ があり、半径はともに $r$ である。球面 $S_1$ は平面 $\alpha:2x+2y+z=3$ と点 $H$ で接している。 $S_1$ と $S_2$ の共通部分は円であり、中心を $Q$ 、半径を $r'$ とする。

(1) 平面 $\alpha$ の法線ベクトルで $z$ 成分が1のものを $\vec{n}$ とすれば、 $\vec{n}=(\boxed{\text{ア}},\boxed{\text{イ}},1)$ である。

(2) $r=\boxed{\text{ウエ}}$ であり、 $H$ の座標は $(\boxed{\text{オ}},\boxed{\text{カ}},\boxed{\text{キ}})$ である。

(3) $r'=\sqrt{\boxed{\text{クケコ}}}$ であり、 $Q$ の座標は $(\boxed{\text{サ}},\boxed{\text{シ}},\boxed{\text{ス}})$ である。

(4) 三角形 $OHQ$ の面積は $\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}\sqrt{\boxed{\text{タチ}}}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$(1)\space{}\vec n=(2,2,1)$
$(2)\space{}r=12,\space{}H=(0,0,3)$
$(3)\space{}r\prime=\sqrt{122},\space{}Q=(6,5,4)$
$\displaystyle (4)\space{}\dfrac{3\sqrt{61}}2$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 平面 $2x+2y+z=3$ の法線ベクトルは係数を並べた $(2,2,1)$ である。

(2) 中心 $A=(8,8,7)$ から平面までの距離が半径である。法線ベクトルの長さは $3$ であり、平面左辺に $A$ を代入した値と右辺との差は $39-3=36$ だから、 $r=36/3=12$ 。接点は $A$ から法線方向に進んだ点である。 $H=A-t(2,2,1)$ とおいて平面上にある条件を使うと $2(8-2t)+2(8-2t)+(7-t)=3,$ ゆえに $39-9t=3$ 、 $t=4$ である。したがって $H=(8,8,7)-4(2,2,1)=(0,0,3)$ 。距離 $AH=\sqrt{8^2+8^2+4^2}=12$ となり、半径とも一致する。

(3) 2中心間の距離の2乗は $AB^2=(8-4)^2+(8-2)^2+(7-1)^2=16+36+36=88.$ 両球の半径が等しいので、共通点は $A,B$ から等距離にあり、その集合を含む平面は $AB$ の垂直二等分面である。共通円の中心はこの平面と $AB$ の交点、すなわち中点だから、 $\displaystyle Q=\frac{A+B}{2}=(6,5,4).$ 共通円上の点を $X$ とすると、 $AQ=AB/2$ であり、 $QX\perp AQ$ 。よって直角三角形 $AQX$ から $\displaystyle r'^2=QX^2=AX^2-AQ^2=12^2-\frac{88}{4}=144-22=122,$ したがって $r'=\sqrt{122}$ 。

(4) $OH$ は長さ3の $z$ 軸上の線分であり、点 $Q=(6,5,4)$ から直線 $OH$ までの距離は $\sqrt{6^2+5^2}=\sqrt{61}$ である。したがって $\displaystyle [OHQ]=\frac12\cdot3\cdot\sqrt{61}=\frac{3\sqrt{61}}2.$

この問題で使う考え方

ベクトルの成分表示
ベクトルの内積
空間座標と空間ベクトル
ベクトルによる図形の考察
空間図形の計量
三角比による面積
座標による距離

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