2琉球大学 2007年 数学 第2問解答・解説

問1

平面OBCは原点を通るので、その方程式を $ax+by+cz=0$ とおく。点B,Cを代入すると $$3a+c=0,\qquad a+2b+c=0.$$ $a=0$ とすると $b=c=0$ となって平面の方程式にならないから、係数を定数倍して $a=1$ とできる。よって $c=-3,\ b=1$ であり、平面OBCの方程式は $x+y-3z=0$ である。その法線ベクトルは $(1,1,-3)$ だから、垂線の足Hは $H=A+t(1,1,-3)$ と表せる。Hが平面上にあることから $$(2+t)+(1+t)-3(4-3t)=0,$$ すなわち $11t-9=0$。したがって $\displaystyle t=\frac{9}{11}$ であり、 $$\displaystyle H=\left(2+\frac{9}{11},\ 1+\frac{9}{11},\ 4-\frac{27}{11}\right)=\left(\frac{31}{11},\frac{20}{11},\frac{17}{11}\right).$$

問2

$\overrightarrow{OB}=(3,0,1),\ \overrightarrow{OC}=(1,2,1)$ より $$|OB|^2=10,\qquad |OC|^2=6,\qquad \overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=4.$$ $\angle BOC=\theta$ とすると、内積と $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ より $$|OB||OC|\sin\theta=\sqrt{|OB|^2|OC|^2-(\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC})^2} =\sqrt{10\cdot6-4^2}=2\sqrt{11}.$$ よって、三角形OBCの面積は $\displaystyle \frac12\cdot2\sqrt{11}=\sqrt{11}$ である。また、$\displaystyle AH=|t|\sqrt{1^2+1^2+(-3)^2}=\frac{9}{\sqrt{11}}$ だから、四面体AOBCの体積は $$\displaystyle \frac13\cdot\sqrt{11}\cdot\frac{9}{\sqrt{11}}=3.$$

問3

外接球の方程式を $x^2+y^2+z^2+px+qy+rz+s=0$ とおく。原点Oを通るので $s=0$。点B,C,Aを代入すると $$3p+r=-10,\qquad p+2q+r=-6,\qquad 2p+q+4r=-21.$$ 第1式から $r=-10-3p$、第2式から $q=p+2$。これらを第3式に代入して $\displaystyle p=-\frac{17}{9}$、よって $\displaystyle q=\frac19,\ r=-\frac{13}{3}$ を得る。したがって求める球面の方程式は $$\displaystyle x^2+y^2+z^2-\frac{17}{9}x+\frac19y-\frac{13}{3}z=0.$$ この式にB,C,Aを代入すると、いずれも左辺は0となる。また、前問の体積が0でないので4点は同一平面上になく、この球面は一意に定まる。