1琉球大学 2007年 数学 第1問解答・解説

解答　 $F(x)=e^x-ax-b$ とおく。交点があることは $F(x)=0$ となる実数 $x$ があることと同値である。　 $a<0$ では $F'(x)=e^x-a>0$。また $x\to-\infty$ で $F(x)\to-\infty$、$x\to\infty$ で $F(x)\to\infty$ なので、中間値の定理より交点がある。　 $a=0$ では $F(x)=e^x-b$。$b>0$ なら $x=\ln b$ で $F(x)=0$。$b\le0$ なら $e^x>0\ge b$ より $F(x)>0$ で、交点はない。　 $a>0$ では両端で $F(x)\to\infty$。また $F'(x)=e^x-a$ より、最小値は $x=\ln a$ でとり、 $$F(\ln a)=a-a\ln a-b.$$ 従って交点がない条件は $$\boxed{b<a(1-\ln a)}.$$ 等号なら接し、$b>a(1-\ln a)$ なら最小値が負となり、両端で正なので交点が2つある。　 よってab平面上の領域は $$\boxed{a=0,\ b\le0;\qquad a>0,\ b<a(1-\ln a)}.$$ $a<0$ は範囲外。境界 $\phi(a)=a(1-\ln a)$ は許された $\displaystyle \lim\limits _{a\to+0}a\ln a=0$ により原点へ近づく。 $\phi'(a)=-\ln a$ なので、$0<a<1$ で増加し、$(1,1)$ で最大、$(e,0)$ を通ってから減少する。正の $a$ では境界曲線を含まず、$a=0,b\le0$ は含む。

水色部分と赤い半直線a=0,b≦0が領域。青い破線b=a(1−log a)は含まず、原点は含む。表示窓の端は領域の境界ではない。