7信州大学 2009年 数学 第7問解答・解説

解答 $P=(1+t,s)$（$0<t<1$），$s=\sqrt{1-t^2}>0$ とおく。曲線は中心 $(1,0)$，半径 $1$ の円なので，$P$ における接線は $$t(x-1)+sy=1$$ である。したがって $$A=(1+1/t,0),\qquad B=(0,(1+t)/s).$$ よって $$\displaystyle |AB|^2=(1+1/t)^2+((1+t)/s)^2=\frac{(1+t)^2}{t^2s^2}=\frac{1+t}{t^2(1-t)}=:F(t).$$ $$\displaystyle F'(t)=\frac{2(t^2+t-1)}{t^3(1-t)^2}.$$ 分母は正であり，分子は $t_0=(\sqrt5-1)/2$ で負から正に変わる。また $F(t)$ は $t\to0+$ および $t\to1-$ で $+\infty$ となる。したがって最小値は $t_0$ でとる。$t_0^2=1-t_0$，$1+t_0=1/t_0$ より $$\displaystyle F(t_0)=t_0^{-5}=\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^5=\frac{11+5\sqrt5}{2}.$$

一方，三角形の面積を $S(t)$ とすると $$\displaystyle S(t)=\frac12\,OA\cdot OB=\frac{(1+t)^2}{2t\sqrt{1-t^2}}.$$ 積・商・合成関数の微分により $$\displaystyle \frac{S'(t)}{S(t)}=\frac2{1+t}-\frac1t+\frac{t}{1-t^2}=\frac{2t-1}{t(1-t^2)}.$$ $S(t)>0$ かつ $t(1-t^2)>0$ で，$S(t)$ は $t<1/2$ で減少，$t>1/2$ で増加する。また両端で $+\infty$ に発散するので，最小値は $t=1/2$ のときであり $$\displaystyle S(1/2)=\frac{(3/2)^2}{\sqrt3/2}=\frac{3\sqrt3}{2}.$$