信州大学 2009年数学第6問解答・解説

微分・積分の考え微分法

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1問題

信州大学2009年度第6問

f(x) を3次の多項式とし，F(x) = f(sin x) + f(cos x) とおく。条件 F(0) = 0, F(π) = -4, F′(π) = 2, ∫_0^1 f(x) dx = 0 を満たすような f(x) を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$f(x)=4x^3-6x^2-2x+2$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ とおく。 $F(0)=0,F(\pi)=-4$ より $a+b+c+2d=0,\qquad -a+b-c+2d=-4.$ $F'(x)=f'(\sin x)\cos x-f'(\cos x)\sin x$ なので $F'(\pi)=-c=2$ 、よって $c=-2$ 。積分条件は $a/4+b/3+c/2+d=0$ 。上の2式から $a=4,b+2d=-2$ 、積分条件から $b+3d=0$ 。従って $d=2,b=-6$ で $f(x)=4x^3-6x^2-2x+2.$ 実際に $f(0)+f(1)=0,f(0)+f(-1)=-4,-f'(0)=2$ 、積分は $1-2-1+2=0$ となり、全条件を満たす。

この問題で使う考え方

係数決定
合成関数の微分

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