領域を x 軸のまわりに回すとき、各 x における断面は半径 y の円である。まず 0 ≦ x ≦ 1 では y = x なので、円錐の高さは 1 、底面半径は 1 であり、ア = 1 , イ = 1 である。直線 y = x と y = − x + 1 の交点は x = − x + 1 より B = ( 1 / 2 , 1 / 2 ) 。したがって ウ = 1 , エ = 2 , オ = 1 , カ = 2 である。 A B → = ( − 1 / 2 , 1 / 2 ) だから A B = ( − 1 / 2 ) 2 + ( 1 / 2 ) 2 = 2 / 2 、よって キ = 2 , ク = 2 。線分 A B の単位方向ベクトルは ( − 1 / 2 , 1 / 2 ) であるから、 C = ( 1 − t / 2 , t / 2 ) ( 0 ≦ t ≦ a ) , a = 2 / 2. A B に垂直な直線の傾きは 1 なので、 D = ( 1 − 2 t , 0 ) , E = ( 1 , 2 t ) . 回転してできる円錐の底面半径は 2 t 、母線の長さは D E = ( 2 t ) 2 + ( 2 t ) 2 = 2 t 。よって側面積は π ( 2 t ) ( 2 t ) = 2 2 π t 2 であり、ケ = 2 , コ = 2 。 ∫ 0 a 2 2 π t 2 d t = 2 2 π 3 ( 2 / 2 ) 3 = π 3 より サ = 1 , シ = 3 。次の回転体 V は、 0 ≦ x ≦ 1 では断面半径 x 、 1 ≦ x ≦ 2 では断面半径 2 − x 2 の円で切れる。したがって V = π ∫ 0 1 x 2 d x + π ∫ 1 2 ( 2 − x 2 ) d x = ( 1 3 + 2 ( 2 − 1 ) − 2 2 − 1 3 ) π = − 4 + 4 2 3 π . 各マーク欄は符号または数字一字なので、ス = − , セ = 4 , ソ = 4 , タ = 2 , チ = 3 。表面は、円錐の側面と半径 R = 2 の球面の 1 ≦ x ≦ R の部分からなる。円錐の母線は 2 なので、その側面積は 2 π 。球面部分について y = R 2 − x 2 とおくと、 d y d x = − x y であり、母線の微小長さ d s は d s = 1 + ( d y / d x ) 2 d x = R y d x . この弧の細片を回してできる細い円台の側面積は極限で d S = 2 π y d s = 2 π R d x となる（円台の側面積 π ( r 1 + r 2 ) ℓ を用いる）。よって球面部分の面積は ∫ 1 R 2 π R d x = 2 π R ( R − 1 ) = ( 4 − 2 2 ) π . なお球の体積 4 3 π r 3 を r で微分すると球面積 4 π r 2 となり、上の帯の式を x = − R から R まで積分した値 4 π R 2 と一致する。したがって全表面積は 2 π + ( 4 − 2 2 ) π = ( 4 − 2 ) π であり、ツ = 4 , テ = 2 。 \displaystyle \text{領域を }x\text{ 軸のまわりに回すとき、各 }x\text{ における断面は半径 }y\text{ の円である。まず }0\le x\le1\text{ では }y=x\text{ なので、円錐の高さは }1\text{、底面半径は }1\text{ であり、}\text{ア}=1,\ \text{イ}=1\text{ である。}
\text{直線 }y=x\text{ と }y=-x+1\text{ の交点は }x=-x+1\text{ より }B=(1/2,1/2)\text{。したがって }\text{ウ}=1,\ \text{エ}=2,\ \text{オ}=1,\ \text{カ}=2\text{ である。}
\overrightarrow{AB}=(-1/2,1/2)\text{ だから }AB=\sqrt{(-1/2)^2+(1/2)^2}=\sqrt{2}/2\text{、よって }\text{キ}=2,\ \text{ク}=2\text{。}
\text{線分 }AB\text{ の単位方向ベクトルは }(-1/\sqrt2,1/\sqrt2)\text{ であるから、}
C=(1-t/\sqrt2,t/\sqrt2)\quad(0\le t\le a),\qquad a=\sqrt2/2.
AB\text{ に垂直な直線の傾きは }1\text{ なので、}
D=(1-\sqrt2t,0),\qquad E=(1,\sqrt2t).
\text{回転してできる円錐の底面半径は }\sqrt2t\text{、母線の長さは }DE=\sqrt{(\sqrt2t)^2+(\sqrt2t)^2}=2t\text{。よって側面積は }\pi(\sqrt2t)(2t)=2\sqrt2\pi t^2\text{ であり、}\text{ケ}=2,\ \text{コ}=2\text{。}
\int_0^a2\sqrt2\pi t^2\,dt=\frac{2\sqrt2\pi}{3}(\sqrt2/2)^3=\frac{\pi}{3}\text{ より }\text{サ}=1,\ \text{シ}=3\text{。}
\text{次の回転体 }V\text{ は、}0\le x\le1\text{ では断面半径 }x\text{、}1\le x\le\sqrt2\text{ では断面半径 }\sqrt{2-x^2}\text{ の円で切れる。したがって}
V=\pi\int_0^1x^2\,dx+\pi\int_1^{\sqrt2}(2-x^2)\,dx
=\left(\frac13+2(\sqrt2-1)-\frac{2\sqrt2-1}{3}\right)\pi
=\frac{-4+4\sqrt2}{3}\pi.
\text{各マーク欄は符号または数字一字なので、}\text{ス}=-,\ \text{セ}=4,\ \text{ソ}=4,\ \text{タ}=2,\ \text{チ}=3\text{。}
\text{表面は、円錐の側面と半径 }R=\sqrt2\text{ の球面の }1\le x\le R\text{ の部分からなる。円錐の母線は }\sqrt2\text{ なので、その側面積は }\sqrt2\pi\text{。球面部分について }y=\sqrt{R^2-x^2}\text{ とおくと、}\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\text{ であり、母線の微小長さ }ds\text{ は}
ds=\sqrt{1+(dy/dx)^2}\,dx=\frac{R}{y}\,dx.
\text{この弧の細片を回してできる細い円台の側面積は極限で }dS=2\pi y\,ds=2\pi R\,dx\text{ となる（円台の側面積 }\pi(r_1+r_2)\ell\text{ を用いる）。よって球面部分の面積は}
\int_1^R2\pi R\,dx=2\pi R(R-1)=(4-2\sqrt2)\pi.
\text{なお球の体積 }\frac43\pi r^3\text{ を }r\text{ で微分すると球面積 }4\pi r^2\text{ となり、上の帯の式を }x=-R\text{ から }R\text{ まで積分した値 }4\pi R^2\text{ と一致する。したがって全表面積は}
\sqrt2\pi+(4-2\sqrt2)\pi=(4-\sqrt2)\pi\text{ であり、}\text{ツ}=4,\ \text{テ}=2\text{。} 領域を x 軸のまわりに回すとき、各 x における断面は半径 y の円である。まず 0 ≦ x ≦ 1 では y = x なので、円錐の高さは 1 、底面半径は 1 であり、 ア = 1 , イ = 1 である。 直線 y = x と y = − x + 1 の交点は x = − x + 1 より B = ( 1/2 , 1/2 ) 。したがって ウ = 1 , エ = 2 , オ = 1 , カ = 2 である。 A B = ( − 1/2 , 1/2 ) だから A B = ( − 1/2 ) 2 + ( 1/2 ) 2 = 2 /2 、よって キ = 2 , ク = 2 。 線分 A B の単位方向ベクトルは ( − 1/ 2 , 1/ 2 ) であるから、 C = ( 1 − t / 2 , t / 2 ) ( 0 ≦ t ≦ a ) , a = 2 /2. A B に垂直な直線の傾きは 1 なので、 D = ( 1 − 2 t , 0 ) , E = ( 1 , 2 t ) . 回転してできる円錐の底面半径は 2 t 、母線の長さは D E = ( 2 t ) 2 + ( 2 t ) 2 = 2 t 。よって側面積は π ( 2 t ) ( 2 t ) = 2 2 π t 2 であり、 ケ = 2 , コ = 2 。 ∫ 0 a 2 2 π t 2 d t = 3 2 2 π ( 2 /2 ) 3 = 3 π より サ = 1 , シ = 3 。 次の回転体 V は、 0 ≦ x ≦ 1 では断面半径 x 、 1 ≦ x ≦ 2 では断面半径 2 − x 2 の円で切れる。したがって V = π ∫ 0 1 x 2 d x + π ∫ 1 2 ( 2 − x 2 ) d x = ( 3 1 + 2 ( 2 − 1 ) − 3 2 2 − 1 ) π = 3 − 4 + 4 2 π . 各マーク欄は符号または数字一字なので、 ス = − , セ = 4 , ソ = 4 , タ = 2 , チ = 3 。 表面は、円錐の側面と半径 R = 2 の球面の 1 ≦ x ≦ R の部分からなる。円錐の母線は 2 なので、その側面積は 2 π 。球面部分について y = R 2 − x 2 とおくと、 d x d y = − y x であり、母線の微小長さ d s は d s = 1 + ( d y / d x ) 2 d x = y R d x . この弧の細片を回してできる細い円台の側面積は極限で d S = 2 π y d s = 2 π R d x となる（円台の側面積 π ( r 1 + r 2 ) ℓ を用いる）。よって球面部分の面積は ∫ 1 R 2 π R d x = 2 π R ( R − 1 ) = ( 4 − 2 2 ) π . なお球の体積 3 4 π r 3 を r で微分すると球面積 4 π r 2 となり、上の帯の式を x = − R から R まで積分した値 4 π R 2 と一致する。したがって全表面積は 2 π + ( 4 − 2 2 ) π = ( 4 − 2 ) π であり、 ツ = 4 , テ = 2 。
