IV日本医科大学 2008年 数学 第IV問解答・解説

[IV]

・ $h=b-a$ とおき、$t=x-a$ と変数変換する。積分の向きを 保って計算すれば $a,b$ の大小によらず $$\displaystyle \int_a^b(x-a)(x-b)\,dx =\int_0^h t(t-h)\,dt =\frac{h^3}{3}-\frac{h^3}{2} =-\frac16(b-a)^3.$$

・ $M$ は弦 $PQ$ の中点だから $OM\perp PQ$ である。 直角三角形 $OMP$ で $OP=1$、角 $MOP=\beta$ より $|OM|=\cos\beta$。$OM$ の方向単位ベクトルは $(\cos\alpha,\sin\alpha)$ なので、弦の方程式は $$x\cos\alpha+y\sin\alpha=\cos\beta.$$ 従って傾きは $$\displaystyle \boxed{-\cot\alpha=-\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}.$$ 直径の場合も $\alpha=\pi/2$ で傾き0となる。

・ 弦の両端の中心角は $\alpha-\beta,\alpha+\beta$ と表せる。 （P,Qの名を入れ替えてよい。）従って $$a=\cos(\alpha+\beta),\quad b=\cos(\alpha-\beta),\quad b-a=2\sin\alpha\sin\beta.$$ ここで $a\le b$。弦の直線を $y_L=(\cos\beta-x\cos\alpha)/\sin\alpha$ とおく。 $a\le x\le b$ では上側の半円弧とこの弦との間を回転するので、 断面は外半径 $\sqrt{1-x^2}$、内半径 $y_L$ の円環である。 したがって $$\displaystyle V=\pi\int_a^b\{1-x^2-y_L^2\}\,dx.$$ 被積分式は $x=a,b$ で0となる二次式で、最高次係数は $-1-\cot^2\alpha=-1/\sin^2\alpha$。ゆえに $$\displaystyle 1-x^2-y_L^2=-\frac{(x-a)(x-b)}{\sin^2\alpha}.$$ (1)の積分公式から $$\displaystyle V=\frac{\pi}{6\sin^2\alpha}(b-a)^3 =\boxed{\frac{4\pi}{3}\sin\alpha\,\sin^3\beta}.$$ 直径の場合は $\alpha=\beta=\pi/2$ で、球の体積 $4\pi/3$ と一致する。

・ 固定した $\beta$ では端点が半円上にあるため $\beta\le\alpha\le\pi-\beta$（$0<\beta\le\pi/2$）。 この区間で $\sin\alpha$ の最大値は1、最小値は $\sin\beta$。 (3)から $$\displaystyle V_1=\frac{4\pi}{3}\sin^3\beta,\qquad V_2=\frac{4\pi}{3}\sin^4\beta.$$ $s=\sin\beta\ (0<s\le1)$ とすると $$\displaystyle W=\frac{4\pi}{3}s^3(1-s),\qquad \frac{dW}{ds}=\frac{4\pi}{3}s^2(3-4s).$$ $s<3/4$ では増加、$s>3/4$ では減少し、端 $s=1$ では $W=0$、$s\to0+$ でも $W\to0$。よって最大にする値は $$\displaystyle \boxed{\sin\beta_0=\frac34}.$$