III日本医科大学 2008年 数学 第III問解答・解説

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・ $$\displaystyle f(2,3)=\left(\frac12,\frac13\right).$$ $g$ では $R$ は $P$ と同じ半直線上にあり、 $|OR||OP|=1$、$|OP|=\sqrt{13}$ だから $$\displaystyle R=\frac{1}{|OP|^2}P=\left(\frac2{13},\frac3{13}\right).$$

・ $f$ の不動点は $1/x=x,\ 1/y=y$ を満たすので $x,y$ はそれぞれ$-1$または$1$である。従って $$\operatorname{Fix}(f)=\{(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1)\}.$$ $g(P)=P/(x^2+y^2)$ であり、$P\ne O$ だから $g(P)=P$ は $x^2+y^2=1$ と同値である。従って $$\operatorname{Fix}(g)=\{(x,y):x^2+y^2=1\}.$$

・ $Q=(u,v)=f(P)$ とおく。$u,v\ne0$ で $x=1/u,\ y=1/v$ だから $$\displaystyle x+2y=1\quad\text{すなわち}\quad \frac1u+\frac2v=1 \quad\text{すなわち}\quad uv-v-2u=0 \quad\text{すなわち}\quad (u-1)(v-2)=2.$$ この双曲線上で $u=0$ または $v=0$ となるのは原点だけであり、 原点は $u=1/x,\ v=1/y$ の像にはならない。従って軌跡は $$(u-1)(v-2)=2\quad\text{ただし }(u,v)=(0,0)\text{を除く}.$$ 漸近線は $u=1,\ v=2$ である。

・ $g(P)=P/|P|^2$ は原点以外で $g(g(P))=P$ を満たす。 従って $R=(X,Y)\ne O$ から元の点は $P=R/(X^2+Y^2)$ と復元できる。元の直線条件は $$\displaystyle \frac{X+2Y}{X^2+Y^2}=1 \quad\text{すなわち}\quad X^2+Y^2=X+2Y \quad\text{すなわち}\quad \left(X-\frac12\right)^2+(Y-1)^2=\frac54.$$ 原点は $g$ の像にならないので除く。軌跡は中心 $(1/2,1)$、半径 $\sqrt5/2$ の円から原点を除いたもの。 漸近線はない。