3名古屋大学 2017年 数学 第3問解答・解説

(1) $\overrightarrow{AP}=(a,b,-2)$ なので $$Q=A+t\overrightarrow{AP}=(at,bt,2-2t).$$

(2) (1)より直線 $l$ 上の点は $Q(t)=(at,bt,2-2t)$ と表される。中心 $(2,0,0)$、半径 $\sqrt2$ の球面 $S$ に属する条件は $$(at-2)^2+(bt)^2+(2-2t)^2=2.$$ 整理すると $$(a^2+b^2+4)t^2-4(a+2)t+6=0.$$ $t$ の二次方程式が異なる2実根をもつ条件は判別式が正であることだから $$\begin{aligned} \Delta&=16(a+2)^2-24(a^2+b^2+4)\\ &=8\{12-(a-4)^2-3b^2\}>0. \end{aligned}$$ 従って、条件は $$(a-4)^2+3b^2<12.$$ これは $ab$ 平面上で、中心 $(4,0)$、半径方向の半軸長が $2\sqrt3$、$b$ 方向の半軸長が $2$ の楕円の内部である。境界は判別式が $0$ となり接する場合なので含まない。図の左側にこの開楕円内部を示した。

(3) 同じ二次方程式の解を $t_1<t_2$ とする。球面上の点の高さは $z=2-2t$ なので、2交点がともに $T$ に属する条件は $t_2<1$ である。二次式を $$f(t)=(a^2+b^2+4)t^2-4(a+2)t+6$$ とおく。その軸の値は $$\displaystyle t_0=\frac{t_1+t_2}{2}=\frac{2(a+2)}{a^2+b^2+4}.$$ 異なる2実根があるとき、$t_2<1$ となることは $t_0<1$ かつ $f(1)>0$ と同値である。実際、$t_0<1$ なら $1$ は軸の右側にあり、$f(1)>0$ は $1$ が2根の外側にあることを示すので、$1$ は大きい方の根より右にある。逆に $t_2<1$ なら二根の平均も1未満なので $t_0<1$ である。また、上に開く二次関数は大きい方の根の右側で正だから $f(1)>0$ である。

分母は正なので $$t_0<1 \quad\text{すなわち}\quad a^2+b^2-2a>0 \quad\text{すなわち}\quad(a-1)^2+b^2>1,$$ また $$f(1)=a^2+b^2-4a+2=(a-2)^2+b^2-2$$ である。よって(2)の条件と合わせ、求める条件は $$(a-4)^2+3b^2<12,\qquad (a-1)^2+b^2>1,\qquad(a-2)^2+b^2>2.$$ すべて不等号は厳密である。したがって、図の右側に示すように、開楕円の内部のうち、中心 $(1,0)$・半径 $1$ の円の内部と、中心 $(2,0)$・半径 $\sqrt2$ の円の内部を除いた部分となる。3つの境界はいずれも含まない。