1名古屋大学 2017年 数学 第1問解答・解説

(1) 曲線の導関数は $-1/x$。$P$ における接線は $$\displaystyle y-(a-1-\log s)=-\frac1s(x-s) \quad\text{すなわち}\quad y=-\frac{x}{s}+a-\log s.$$ 従って $$\boxed{u(s)=s(a-\log s),\qquad v(s)=a-\log s}.$$

(2) $s>0$ において $$u'(s)=a-1-\log s,\quad u''(s)=-1/s<0,\qquad v'(s)=-1/s<0,\quad v''(s)=1/s^2>0.$$ $u$ は $0<s<e^{a-1}$ で増加，$s>e^{a-1}$ で減少し，全域で上に凸。最大点は $(e^{a-1},e^{a-1})$。 $v$ は全域で減少し，下に凸である。また $$\begin{array}{c|cc} &s\to+0&s\to\infty\\\hline u(s)&0&-\infty\\ v(s)&+\infty&-\infty \end{array}$$ であり，$u$ の左端は原点に近づくが $s=0$ は定義域に含まない。 交点の条件は $(s-1)(a-\log s)=0$ なので，交点は $$\boxed{(1,a),\qquad(e^a,0)}.$$ $0<a<1$ より $0<e^{a-1}<1<e^a$。$u-v=(s-1)(a-\log s)$ の符号から，$1<s<e^a$ では $u>v$，その外では $u<v$。以上を合わせた概形を図に示す。

(3) 囲まれた領域は $1\le s\le e^a$，$v(s)\le t\le u(s)$ である。 この区間で $u,v$ はともに $a$ から0まで単調減少する。$0<t<a$ に対して $u(s)=t$，$v(s)=t$ を満たす解をそれぞれ $s_u(t),s_v(t)$ とすれば $s_u(t)>s_v(t)>0$。 回転軸は $t$ 軸なので，高さ $t$ の断面は外半径 $s_u(t)$，内半径 $s_v(t)$ の円環となる。 従って体積は，それぞれ $t=u(s),v(s)$ と置換して $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi\int_0^a\{s_u(t)^2-s_v(t)^2\}\,dt\\ &=\pi\int_1^{e^a}s^2\{v'(s)-u'(s)\}\,ds\\ &=\pi\int_1^{e^a}\{s^2(1-a+\log s)-s\}\,ds. \end{aligned}$$ 部分積分により $\displaystyle \int s^2\log s\,ds=s^3\log s/3-s^3/9$ だから $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi\left[\frac{s^3\log s}{3}+\frac{(2-3a)s^3}{9}-\frac{s^2}{2}\right]_1^{e^a}\\ &=\boxed{\frac\pi{18}\left(4e^{3a}-9e^{2a}+6a+5\right)}. \end{aligned}$$