4鹿児島大学 2015年 新教育課程 数学 第4問解答・解説

(1) $f'(x)=e^{-x}(1-x)$ だから、$0<x<1$ で増加し、$x>1$ で減少する。よって $x=1$ で極大値 $1/e$ をとる。$f(x)>0$ で、$x\to0+$ および $x\to\infty$ で $f(x)\to0$ なので極小値はなく、下限は $0$ である。また $$f''(x)=e^{-x}(x-2)$$ より、$0<x<2$ では上に凸、$x>2$ では下に凸。凹凸が変わる点は $(2,f(2))=(2,2/e^2)$。グラフは原点に右から近づき、$(1,1/e)$ で最大になった後減少し、$(2,2/e^2)$ で凹凸を変えて $x$ 軸に近づく。図では $x=0$ は定義域外として白丸、極大点と変曲点を黒点で示す。

(2) 部分積分から $$\displaystyle \int xe^{-x}\,dx=-(x+1)e^{-x}+C$$ である。従って $$\displaystyle g(t)=\int_0^t xe^{-x}\,dx=1-(t+1)e^{-t}.$$

(3) $$\displaystyle h(t)=\int_t^{t+1}xe^{-x}\,dx=(t+1)e^{-t}-(t+2)e^{-(t+1)}.$$ これを微分すると $$\displaystyle h'(t)=e^{-t}\left(\frac{t+1}{e}-t\right).$$ 括弧内は $1-(e-1)t$ と同符号なので、$t<1/(e-1)$ では増加、$t>1/(e-1)$ では減少。従って $t=1/(e-1)$ で最大となる。