5山形大学 2016年 数学 第5問解答・解説

問題文の $n$ は自然数、$t>0$ とする。

(1) $f(x)=xe^{-x}$ とすると $$f'(x)=e^{-x}(1-x).$$ 指数関数は正なので、$f$ は $x<1$ で増加し、$x>1$ で減少する。したがって $x=1$ で極大値 $1/e$ をとり、極小値はない。

(2) $\displaystyle S_1(t)=\int_t^{2t}xe^{-x}\,dx$ であり、部分積分から $$\displaystyle \int xe^{-x}\,dx=-(x+1)e^{-x}+C.$$ ゆえに $$S_1(t)=(t+1)e^{-t}-(2t+1)e^{-2t}.$$

(3) 端点を微分すると $$S_1'(t)=2(2t)e^{-2t}-te^{-t}=te^{-2t}(4-e^t).$$ $t>0$ なので $S_1'(t)>0$ は $t<\log4$、$S_1'(t)<0$ は $t>\log4$ と同値。従って最大値は $t=\log4$ で取り、 $$\displaystyle S_1(\log4)=\frac{\log4+1}{4}-\frac{2\log4+1}{16}=\frac{2\log4+3}{16}.$$

(4) $\displaystyle S_n(t)=\int_t^{2t}x^ne^{-nx}\,dx$ を端点で微分すると $$\displaystyle \frac{d}{dt}S_n(t)=2(2t)^ne^{-2nt}-t^ne^{-nt}=t^ne^{-2nt}\bigl(2^{n+1}-e^{nt}\bigr).$$

(5) $t>0$ では $t^ne^{-2nt}>0$ なので、微分の符号は $2^{n+1}-e^{nt}$ の符号で決まる。これは $t<t_n$ で正、$t>t_n$ で負となる。ただし $$\displaystyle e^{nt_n}=2^{n+1},\qquad t_n=\frac{n+1}{n}\log2.$$ よって $S_n(t)$ は $t_n$ で最大値をとり、 $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}t_n=\log2.$$