1山形大学 2016年 数学 第1問解答・解説

各試合は独立で、Aの勝つ確率を$\displaystyle p=\frac23$、Bの勝つ確率を$\displaystyle q=\frac13$とする。

(1) 優勝が決まるまでにBが一度も勝たないのは、Aが最初の3試合を連取して優勝する場合に限る。よって求める確率は $$\displaystyle 1-p^3=1-\left(\frac23\right)^3=\frac{19}{27}.$$

(2) 3試合目で優勝が決まるのは同じチームが3連勝する場合なので、その確率は$\displaystyle p^3+q^3=\frac9{27}$。4試合目でAが優勝するには最初の3試合がAの2勝・Bの1勝で、その後Aが勝つ。Bが優勝する場合も同様である。従って $$\displaystyle \Pr(T=4)=3p^3q+3q^3p=\frac8{27}+\frac2{27}=\frac{10}{27}.$$ したがって $$\displaystyle \Pr(T=3\text{ または }4)=p^3+q^3+3p^3q+3q^3p=\frac{19}{27}.$$

(3) 1試合目にAが勝ち、Aが優勝する試合列を優勝試合数ごとに数える。3試合で優勝する列はAAAの1通り、4試合では最初の3試合にAが2勝・Bが1勝で1試合目がAとなる列が2通り、5試合では最初の4試合に各チームが2勝ずつで1試合目がAとなる列が3通りである。よって $$\displaystyle p^3+2p^3q+3p^3q^2=\frac8{27}+\frac{16}{81}+\frac8{81}=\frac{16}{27}.$$