4山形大学 2016年 数学 第4問解答・解説

(1) 定義と漸化式から $$\begin{aligned} b_{n+1}&=a_{n+1}+3(n+1)\\&=2a_n+3n-3+3n+3=2(a_n+3n)=2b_n. \end{aligned}$$ また $b_1=-1+3=2$。 (2) 従って $b_n=2^n$ より $a_n=2^n-3n$。 (3) $2^n$ は3で割った余りが1または2だから、$a_n\equiv2^n\not\equiv0\pmod3$。よって $a_n\ne0$。 (4) $c_1>0$ であり、$c_n>0$ なら $nc_n+1>0$、$c_{n+1}>0$ となる。従って全項で逆数を取れる。$r_n=1/c_n$ とおくと、 $$\displaystyle r_1=\frac18,\qquad r_{n+1}=n+\frac1{c_n}=r_n+n.$$ よって $$\displaystyle r_n=\frac18+\sum\limits _{k=1}^{n-1}k=\frac18+\frac{n(n-1)}2=\frac{(2n-1)^2}{8},\qquad c_n=\frac8{(2n-1)^2}.$$ (5) $q_n=a_n/d_n$ とする。まず $d_1=-8\ne0$、$q_1=1/8$。$d_n\ne0$、$q_n=1/8+n(n-1)/2>0$ が成り立つと仮定すると、 $$\displaystyle nd_n+a_n=d_n(n+q_n)\ne0,\qquad d_{n+1}=\frac{a_{n+1}}{n+q_n}\ne0.$$ 最後に(3)を使った。また $q_{n+1}=n+q_n$ なので、帰納的に全ての $n$ で $d_n\ne0$、$q_n=(2n-1)^2/8$ となる。従って $$\displaystyle d_n=\frac{a_n}{q_n}=\frac{8(2^n-3n)}{(2n-1)^2}.$$