1大阪大学 2016年 数学 第1問解答・解説

$c=1/a+1/b$ とおく。定義から、すべての $k\geq1$ について $$f_{2k}(x)=\sin\pi(kc-x),\qquad f_{2k+1}(x)=\sin\pi(kc+x)$$ となる。実際、$k=1$ では $f_2(x)=f_1(c-x)=\sin\pi(c-x)$、$f_3(x)=f_2(-x)=\sin\pi(c+x)$ であり、これらの式が成り立つとき $$f_{2k+2}(x)=f_{2k+1}(c-x)=\sin\pi((k+1)c-x),\quad f_{2k+3}(x)=f_{2k+2}(-x)=\sin\pi((k+1)c+x)$$ だから、帰納法で示された。

(1) $a=2,b=3$ なら $c=5/6$ である。よって $$\displaystyle f_5(0)=\sin(2\pi c)=\sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

(2) $a=1,b=6$ なら $c=7/6$ なので $$\displaystyle (-1)^k f_{2k}(0)=(-1)^k\sin\frac{7\pi k}{6} =\sin\left(\frac{7\pi k}{6}+k\pi\right) =\sin\frac{13\pi k}{6}=\sin\frac{\pi k}{6}.$$ 数列 $\sin(\pi k/6)$ は周期12であり、最初の12項の和は0である。$100=8\cdot12+4$ だから、最初の96項の和は0で、残りの4項の和は $$\displaystyle \sin\frac\pi6+\sin\frac\pi3+\sin\frac\pi2+\sin\frac{2\pi}3 =\frac12+\frac{\sqrt3}{2}+1+\frac{\sqrt3}{2} =\frac32+\sqrt3.$$ したがって求める和は $\displaystyle \frac32+\sqrt3$ である。

(3) $f_6(0)=\sin(3\pi c)$ だから、これが0となる条件は $$\displaystyle 3\left(\frac1a+\frac1b\right)\text{ が整数となること}$$ である。さいころの出目 $(a,b)$ は36通りの順序付き組で同様に確からしい。対称性から $a\leq b$ の組を調べると、$3/a+3/b$ の値は次の通りである。 $$\begin{array}{c|l} a & 3/a+3/b\quad(b=a,\ldots,6)\\\hline 1 & 6,\ 9/2,\ 4,\ 15/4,\ 18/5,\ 7/2\\ 2 & 3,\ 5/2,\ 9/4,\ 21/10,\ 2\\ 3 & 2,\ 7/4,\ 8/5,\ 3/2\\ 4 & 3/2,\ 27/20,\ 5/4\\ 5 & 6/5,\ 11/10\\ 6 & 1 \end{array}$$ 整数となるのは $a\leq b$ の組 $(1,1),(1,3),(2,2),(2,6),(3,3),(6,6)$ である。非対角の $(1,3),(2,6)$ にはそれぞれ順序を入れ替えた組もあるため、該当する組は合計8通り。よって確率は $$\displaystyle \frac{8}{36}=\frac29.$$