4大阪大学 2016年 数学 第4問解答・解説

(1) $N=\lfloor\log_2 n\rfloor$ とする。各 $1\le k\le n$ を $k=2^j u$（$u$ は奇数）と書くと $j\le N$ であり、$u$ は $A_n$ の因数なので $$\displaystyle \frac{2^N A_n}{k}=2^{N-j}\frac{A_n}{u}$$ は整数である。従って和 $2^N A_n S_n$ は整数。さらに $j=N$ となる $k$ は $k=2^N$ の1つだけである（$2^N\le n<2^{N+1}$ だから）。この項は奇数 $A_n$ であり、他の全項は $2$ の倍数である。よって和は奇数。$n=1$ の場合も $N=0$ で値は1となる。

(2) $n\le3$ では $S_n<2$ なので $m>0$ は不可能。$n\ge4$ なら $N\ge2$。 (1)より $2^N A_n S_n$ は奇数だから、有理数 $S_n$ の分母に含まれる $2$ の因子の指数はちょうど $N$ である。一方 $S_n=2+m/20$ の分母の $2$ の因子の指数は高々2なので $N\le2$。従って $N=2$、すなわち $4\le n\le7$ に限る。各値を調べると $$\displaystyle 20(S_4-2)=\frac53,\quad20(S_5-2)=\frac{17}3,\quad20(S_6-2)=9,\quad20(S_7-2)=\frac{83}7.$$ 正の整数 $m$ となるのは $n=6,m=9$ のみ。

(3) (1)から $K=16A_{20}S_{20}$ は奇数整数であり、$A_{20}S_{20}=K/16$ の小数部分は $K$ を16で割った余りを16で割ったもの。$A_{20}=1\cdot3\cdot5\cdot7\cdot9\cdot11\cdot13\cdot15\cdot17\cdot19\equiv3\pmod{16}$。$k=2^j u$（$u$ 奇数）で各項 $16A_{20}/k$ を分類する。$j=0$ の項はすべて16の倍数。$j=1$ は5項あり各項が8 mod 16なので合計8 mod 16。$j=2$ は $k=4,12,20$ の3項で、$A_{20}\equiv3\pmod4$ を用いると各 $A_{20}/u$ は $u=1,3,5$ に対して mod 4 で $3,1,3$。従ってこれらの合計は $4(3+1+3)=28\equiv12\pmod{16}$。$j=3$ の $k=8$ の項は $2A_{20}\equiv6\pmod{16}$、$j=4$ の $k=16$ の項は $A_{20}\equiv3\pmod{16}$。以上を足すと $K\equiv8+12+6+3=29\equiv13\pmod{16}$。ゆえに $\boxed{b=13/16}$。