九州大学 2016年数学第4問解答・解説

数学と人間の活動（整数）数列

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1問題

九州大学2016年度第4問配点 50点

この問題の解答は，解答紙29の定められた場所に記入しなさい。

[問題]

自然数 $n$ に対して， $10^n$ を13で割った余りを $a_n$ とおく。 $a_n$ は0から12までの整数である。以下の問いに答えよ。

(1) $a_{n+1}$ は $10a_n$ を13で割った余りに等しいことを示せ。

(2) $a_1,a_2,\cdots,a_6$ を求めよ。

(3) 以下の3条件を満たす自然数 $N$ をすべて求めよ。

(i) $N$ を十進法で表示したとき6桁となる。

(ii) $N$ を十進法で表示して，最初と最後の桁の数字を取り除くと2016となる。

(iii) $N$ は13で割り切れる。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$(1) a_{n+1}$ は $10a_n$ を13で割った余り。 $(2) a_1,...,a_6=10,9,12,3,4,1$ （周期6）。 (3) 220168, 320164, 420160, 520169, 620165, 720161, 920166。
$(2)\space{}(a_1,\ldots,a_6)=(10,9,12,3,4,1)$
$(3)\space{}N\in\{220168,320164,420160,520169,620165,720161,920166\}$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

自然数 $n$ に対し $10^n=13q_n+a_n$ とする。(1) 両辺を10倍すると $10^{n+1}=13(10q_n)+10a_n$ 。よって $10^{n+1}$ を13で割った余り $a_{n+1}$ は、 $10a_n$ を13で割った余りに等しい。

(2) $a_1=10$ から順に余りをとると $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6)=(10,9,12,3,4,1).$ さらに $a_7\equiv10a_6\equiv10=a_1\pmod{13}$ なので、同じ遷移を繰り返す周期は6である。

(3) 条件(i)(ii)より、 $N=\overline{d_1\,2016\,d_2}$ 、ただし $1\le d_1\le9,\ 0\le d_2\le9$ 。 $10^5\equiv4\pmod{13}$ で $2016\equiv1\pmod{13}$ より $N\equiv4d_1+10+d_2\pmod{13}.$ 割り切れる条件は $d_2\equiv3-4d_1\pmod{13}$ 。 $d_1=1,\ldots,9$ を調べると、許容される組は $(d_1,d_2)=(2,8),(3,4),(4,0),(5,9),(6,5),(7,1),(9,6).$ したがって $\boxed{N=220168,\ 320164,\ 420160,\ 520169,\ 620165,\ 720161,\ 920166}.$

この問題で使う考え方

整数の余りによる漸化式
合同式
十進位取り記数法による場合分け

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