広島大学 2022年数学第3問解答・解説

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1問題

広島大学2022年度第3問

$a,b$ を整数とする。また，整数の数列 $\{c_n\}$ を $c_1=a,\ c_2=b$ および漸化式 $c_{n+2}=c_{n+1}+c_n\quad(n=1,2,3,\ldots)$ により定める。このとき，次の問いに答えよ。

(1) $a=39, b=13$ とする。このとき，2つの整数 $c_5$ と $c_6$ の最大公約数を求めよ。

(2) $a$ と $b$ はともに奇数であるとする。このとき，自然数 $n$ に対して次の命題 $P_n$ が成り立つことを， $n$ についての数学的帰納法で示せ。 $P_n:\quad c_{3n-2}\text{ と }c_{3n-1}\text{ はともに奇数であり， }c_{3n}\text{ は偶数である。}$

(3) $d$ を自然数とし， $a$ と $b$ はともに $d$ の倍数であるとする。このとき，自然数 $n$ に対して $c_n$ が $d$ の倍数になることを示せ。ただし，数学的帰納法を用いて証明すること。

(4) $c_{2022}$ が奇数であるならば， $a+b$ も奇数であることを示せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
13
(2)
induction proof: c_(3n−2),c_(3n−1) odd; c_(3n) even
(3)
$d divides c_n for every n$
(4)
$c_2022 odd implies a+b odd$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 漸化式から $c_5=117,c_6=182$ 。ユークリッドの互除法で $\gcd(117,182)=\gcd(117,65)=\gcd(52,65)=13$ 。 (2) $n=1$ では $c_1=a,c_2=b$ は奇数、 $c_3=a+b$ は偶数。 $P_n$ を仮定すると、漸化式より次の3項は「奇偶和・奇数と偶数の和・奇数和」となり、それぞれ奇数、奇数、偶数。従って帰納法で全てのnに成り立つ。 (3) $Q_n$ :「 $c_n,c_{n+1}$ はdの倍数」とする。 $Q_1$ は仮定から成立し、 $Q_n$ なら $c_{n+2}=c_{n+1}+c_n$ もdの倍数なので $Q_{n+1}$ 。帰納法で全ての項がdの倍数。 (4) 漸化式を使い $c_{k+3}=c_k+2c_{k+1}$ を得るので $c_{k+3}\equiv c_k\pmod2$ 。 $2022=3\cdot674$ より $c_{2022}\equiv c_3=a+b\pmod2$ 。従って結論が従う。

原文の4小問を確認し、最大公約数の計算、2種類の数学的帰納法の基底・帰納段階、漸化式からのmod 2周期性を検算。旧答案と一致。

この問題で使う考え方

数学的帰納法
ユークリッドの互除法
合同式

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