5愛媛大学 2023年 数学 第5問解答・解説

(1) まず全ての $a_n$ が偶数である。$a_1=2$ は偶数であり、$a_n=2k$ なら $$a_{n+1}=a_n^2+2=4k^2+2=2(2k^2+1)$$ も偶数だから、帰納法で示される。次に $a_{2m}$ が3の倍数であることを $m$ について示す。基礎として $a_2=2^2+2=6$。$a_{2m}=3p$ と仮定すると $a_{2m+1}=9p^2+2=3q+2$ と書けるので、 $$a_{2m+2}=(3q+2)^2+2=9q^2+12q+6=3(3q^2+4q+2).$$ よって $a_{2m+2}$ は3の倍数。帰納法で全ての $a_{2m}$ は3の倍数であり、既に偶数でもあるから6の倍数である。

(2)(i) 偽。$a=1$ は自然数だが $\sqrt a=1$ は有理数である。

(ii) $a$ を自然数とし、$\sqrt a+\sqrt2=r$ が有理数であると仮定する。すると $$2r\sqrt2=r^2+2-a.$$ もし $r=0$ なら元の式は $\sqrt a+\sqrt2=0$ となり、左辺が正であることに反する。よって $r\ne0$ であり、上式から $$\displaystyle \sqrt2=\frac{r^2+2-a}{2r}\text{ は有理数となる},$$ これは $\sqrt2$ が無理数であることに矛盾する。従って和は無理数。

(3) 垂直二等分線上では $z$ は0と $i$ から等距離なので $|z|=|z-i|$。与式を $z$ について解くと $$\displaystyle z=\frac{w+1}{2-iw},\qquad z-i=\frac{1-2i}{2-iw}.$$ したがって等距離条件は $$|w+1|=|1-2i|=\sqrt5.$$ これは中心 $-1$、半径 $\sqrt5$ の円を表す。ただし $2-iw=0$ に対応する $w=-2i$ では有限の $z$ が存在しない。この点は円上にあり、他の円周上の点では逆式が定義されるため、軌跡はこの円から $w=-2i$ を除いた図形である。

漸化式の剰余と偶奇を帰納法で調べた。(2)は具体的反例と背理法で判定する。(3)は等距離条件を逆変換で移し、分母が0になる値を到達しない点として除いた。