4東京大学 2006年 数学 第4問解答・解説

以下の独立解説を採用する。

(1) $y\le3$ の全列挙 方程式を $z$ の二次方程式 $$z^2-xyz+(x^2+y^2)=0$$ とみる。実数解の必要条件は判別式 $D=x^2y^2-4(x^2+y^2)\ge0$。$1\le x\le y\le3$ の各組で、 $$D_{11}=-7,\ D_{12}=-16,\ D_{22}=-16,\ D_{13}=-31,\ D_{23}=-16,\ D_{33}=9.$$ 従って $x=y=3$ の場合だけ可能で、そのとき $z=(9\pm3)/2=3,6$。いずれも条件(A)を満たす。答えは $$\boxed{(3,3,3),\ (3,3,6)}.$$

(2) 次の組を作る $(a,b,c)$ が(A)を満たすとする。$a$ について $$a^2-bc,a+(b^2+c^2)=0$$ が成り立つ。二次方程式の一方の根が $a$ だから、もう一方は $z=bc-a$。これは整数で、根の積より $$az=b^2+c^2>0$$ なので $z>0$。また $b=1$ は $a=1$ を強制し、元の式が $1+1+c^2=c$ となり不可能。従って $b\ge2$。$a\le c$ だから $$z-c=c(b-1)-a\ge c-a\ge0.$$ よって $b\le c\le z$。根と係数の関係から $b^2+c^2+z^2=bcz$ も成り立つので $(b,c,z)$ は(A)を満たす。

(3) 無数に存在 (1)の $(3,3,3)$ から(2)の変換を繰り返す。初項の変換結果は $(3,3,6)$ である。一般に現在の三つ組が $3\le a\le b\le c$ を満たせば、新しい第3成分 $bc-a$ は $$bc-a-c=c(b-1)-a\ge2c-a\ge c>0$$ により $c$ より大きい。各段階で(2)から条件(A)が保たれ、最大成分は厳密に増加する。従って得られる三つ組はすべて異なり、条件(A)を満たす組は無数にある。

単元・方法・テーマ 単元：数学I「数と式」、数学A「整数の性質」。方法：二次方程式の判別式による有限列挙、解と係数の関係、整数性と大小評価、再帰的構成。テーマ：三変数ディオファントス方程式の解の生成。