6東京大学 2006年 数学 第6問解答・解説

解答

$t=e^x$ とおくと $t>1$ であり、 $$\displaystyle f(x)=F(t),\qquad F(t)=12\frac{t^3-3t}{t^2-1}.$$ 分母は $t>1$ で0にならないから、$f$ は $x>0$ の範囲で連続である。商の微分と $dt/dx=t$ より $$\displaystyle f'(x)=tF'(t)=12t\frac{(3t^2-3)(t^2-1)-2t(t^3-3t)}{(t^2-1)^2} =12t\frac{t^4+3}{(t^2-1)^2}>0.$$ したがって $0<x_1<x_2$ ならば $f(x_1)<f(x_2)$ が成り立つ。また、$t\to1+$ で分子 $t^3-3t\to-2$、分母 $t^2-1\to0+$ なので $\displaystyle \lim\limits _{x\to0+}f(x)=-\infty$。$t\to\infty$ では $F(t)\sim12t$ だから $\displaystyle \lim\limits _{x\to\infty}f(x)=+\infty$。連続性、中間値の定理、および異なる2点で同じ値をとらないことから、任意の実数 $a$ に対して $f(x)=a$ を満たす $x>0$ がただ1つ存在する。よって逆関数 $g$ は実数全体で定義される。

$t=e^x$ を代入すると $f(\log2)=8$, $f(\log3)=27$ だから $g(8)=\log2$, $g(27)=\log3$。$u=f(x)$ と置換して部分積分すると $$\displaystyle \begin{aligned} \int_8^{27}g(u)\,du &=\int_{\log2}^{\log3}x f'(x)\,dx\\ &=[xf(x)]_{\log2}^{\log3}-\int_{\log2}^{\log3}f(x)\,dx\\ &=27\log3-8\log2-\int_{\log2}^{\log3}f(x)\,dx. \end{aligned}$$ 最後の積分で再び $t=e^x$ と置換すると $dx=dt/t$ より $$\displaystyle \begin{aligned} \int_{\log2}^{\log3}f(x)\,dx &=12\int_2^3\frac{t^2-3}{t^2-1}\,dt\\ &=12\int_2^3\left(1-\frac1{t-1}+\frac1{t+1}\right)dt\\ &=12\left[t-\log(t-1)+\log(t+1)\right]_2^3\\ &=12(1+\log2-\log3). \end{aligned}$$ したがって $$\displaystyle \boxed{\displaystyle\int_8^{27}g(u)\,du=39\log3-20\log2-12}.$$