5東京大学 2006年 数学 第5問解答・解説

$a_n>0$なので$b_n=1/a_n$も正である。漸化式から $$\displaystyle b_{n+1}=\frac{(1+a_n)^2}{a_n}=b_n+2+a_n=b_n+2+\frac1{b_n},\qquad b_1=2.$$

(1) $\displaystyle b_2=2+2+\frac12=\frac92>4$。また、$b_n>2n$ならば $$\displaystyle b_{n+1}=b_n+2+\frac1{b_n}>2n+2=2(n+1).$$ よって数学的帰納法により、すべての$n>1$で$b_n>2n$。したがって $$\displaystyle 0<a_n=\frac1{b_n}<\frac1{2n}\quad(n>1)$$ であり、$a_n\to0$。

(2) 任意の$\varepsilon>0$に対し、$a_k\to0$より、ある$N$が存在して$k\ge N$なら$0<a_k<\varepsilon$。$n\ge N$では $$\displaystyle 0\le\frac1n\sum\limits _{k=1}^n a_k \le\frac1n\sum\limits _{k=1}^{N-1}a_k+\varepsilon\frac{n-N+1}{n}.$$ 右辺の第1項は$n\to\infty$で0に収束し、第2項の極限は$\varepsilon$である。$\varepsilon$は任意だから $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac1n\sum\limits _{k=1}^n a_k=0.$$

(3) 逆数列の漸化式を足し合わせると $$\displaystyle b_n=b_1+\sum\limits _{k=1}^{n-1}(b_{k+1}-b_k) =2+\sum\limits _{k=1}^{n-1}(2+a_k) =2n+\sum\limits _{k=1}^{n-1}a_k.$$ よって $$\displaystyle na_n=\frac{n}{b_n} =\frac1{2+\frac1n\sum\limits _{k=1}^{n-1}a_k}.$$ (2)より$\displaystyle \frac1n\sum\limits _{k=1}^{n}a_k\to0$、また(1)から$0<a_n/n<1/(2n^2)\to0$なので、分母の和の項も0に収束する。したがって $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}na_n=\frac12.$$