8弘前大学 2007年 数学 第8問解答・解説

(1) 行列積を計算すると $$AP=\begin{pmatrix}(9+x)/10&(9+y)/10\\(3+7x)/10&(3+7y)/10\end{pmatrix},\qquad PB=\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\\alpha x&\beta y\end{pmatrix}.$$ よって、$t=x,y$ のそれぞれについて、対応する対角成分を $\lambda$ とすると $$\displaystyle \lambda=\frac{9+t}{10},\qquad 3+7t=t(9+t),\qquad (t+3)(t-1)=0.$$ したがって $t=-3,1$ である。条件 $x<y$ から $x=-3,\ y=1$ となり、 $$\displaystyle \alpha=\frac{9+x}{10}=\frac35,\qquad \beta=\frac{9+y}{10}=1.$$ 実際、この値を代入すれば両辺は $$AP=PB=\begin{pmatrix}3/5&1\\-9/5&1\end{pmatrix}$$ となる。

(2) $v_n=(a_n,b_n)^T$ とおく。計算のため $v_0=(5,9)^T$ も含めると、$v_{n+1}=Av_n$ だから $$\displaystyle a_{n+1}=\frac9{10}a_n+\frac1{10}b_n,\qquad b_{n+1}=\frac3{10}a_n+\frac7{10}b_n.$$ ここで $d_n=a_n-b_n$ とおけば、 $$\displaystyle d_{n+1}=\frac35d_n,\qquad d_0=-4,$$ より $d_n=-4(3/5)^n$ である。また $s_n=3a_n+b_n$ とおくと $$s_{n+1}=3a_{n+1}+b_{n+1}=3a_n+b_n=s_n,$$ ゆえに $s_n=s_0=24$ である。$4a_n=s_n+d_n$ および $b_n=s_n-3a_n$ より $$a_n=6-(3/5)^n,\qquad b_n=6+3(3/5)^n.$$ $0<3/5<1$ だから $(3/5)^n\to0$ となり、 $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}a_n=6,\qquad \lim\limits _{n\to\infty}b_n=6.$$