6弘前大学 2007年 数学 第6問解答・解説

(1) 四次式の平方根は最高次係数が $1$ または $-1$ である。符号を選び直して $1$ とできるので、平方根を $x^2+ax+b$ とおく。係数を比べると $$2a=2,\qquad a^2+2b=-3,$$ したがって $a=1$、$b=-2$。さらに $$2ab=1-m,\qquad b^2=1-n$$ より $-4=1-m$、$4=1-n$ なので $$m=5,\qquad n=-3.$$ 実際、 $$f(x)-5x+3=(x^2+x-2)^2.$$

(2) 曲線から直線を引くと $$f(x)-(5x-3)=(x^2+x-2)^2=(x+2)^2(x-1)^2\geq0.$$ 交点は $x=-2,1$ であり、その間では曲線が直線以上にある。したがって囲まれた部分の面積は $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_{-2}^{1}(x^2+x-2)^2\,dx\\ &=\int_{-2}^{1}(x^4+2x^3-3x^2-4x+4)\,dx\\ &=\left[\frac{x^5}{5}+\frac{x^4}{2}-x^3-2x^2+4x\right]_{-2}^{1} =\frac{81}{10}. \end{aligned}$$