5群馬大学 2002年 数学 第5問解答・解説

被積分関数の中身を $$q_x(t)=2t^2-3xt+x^2=(2t-x)(t-x)$$ とおく。$t$ に関する原始関数を $$\displaystyle Q_x(t)=\frac23t^3-\frac{3x}{2}t^2+x^2t$$ とすると、$\displaystyle Q_x(1)=x^2-\frac32x+\frac23$ および $\displaystyle Q_x(x/2)=\frac{5x^3}{24}$ である。

(1) $x=1$ のとき、$q_1(t)$ は $\displaystyle 0\leq t\leq\frac12$ で非負、$\displaystyle \frac12\leq t\leq1$ で非正だから $$\displaystyle f(1)=Q_1\!\left(\frac12\right)-\left(Q_1(1)-Q_1\!\left(\frac12\right)\right) =2\cdot\frac5{24}-\frac16 =\boxed{\frac14}.$$

(2) $1\leq x\leq2$ では零点 $x/2,x$ のうち $x/2\leq1\leq x$ であり、$q_x(t)$ は $0\leq t\leq x/2$ で非負、その後 $t=1$ までは非正である。したがって $$\displaystyle f(x)=Q_x\!\left(\frac{x}{2}\right)-\left(Q_x(1)-Q_x\!\left(\frac{x}{2}\right)\right) =2Q_x\!\left(\frac{x}{2}\right)-Q_x(1) =\boxed{\frac{5x^3}{12}-x^2+\frac32x-\frac23}.$$

(3) 区間 $-1\leq x\leq0$ および $2\leq x\leq3$ では $q_x(t)\geq0$ が $0\leq t\leq1$ で成り立つ。$0\leq x\leq1$ では負となるのは $x/2\leq t\leq x$ なので $$\displaystyle f(x)=Q_x(1)-2\{Q_x(x)-Q_x(x/2)\}=Q_x(1)+\frac{x^3}{12}.$$ $1\leq x\leq2$ の式は(2)で求めた。従って $$\displaystyle f(x)=\begin{cases} Q_x(1),&-1\leq x\leq0,\\ Q_x(1)+\dfrac{x^3}{12},&0\leq x\leq1,\\ 2Q_x(x/2)-Q_x(1),&1\leq x\leq2,\\ Q_x(1),&2\leq x\leq3. \end{cases}$$ まず $\displaystyle \int_{-1}^{3}Q_x(1)\,dx=6$。上の区分式による補正は $0\le x\le1$ で $\displaystyle \int_0^1 x^3/12\,dx=1/48$、$1\le x\le2$ で $$\displaystyle \int_1^2\{2Q_x(x/2)-2Q_x(1)\}\,dx =\int_1^2\left(\frac{5x^3}{12}-2x^2+3x-\frac43\right)dx =\frac1{16}.$$ よって $$\displaystyle \boxed{\int_{-1}^{3}f(x)\,dx=6+\frac1{48}+\frac1{16}=\frac{73}{12}}.$$