2横浜市立大学 2003年 数学 第2問解答・解説

(1) $t>0$ とおく。曲線を y=f(x)=$\sqrt{x^{2}+1}$ とすると、　 $$\displaystyle f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}.$$　 したがって、点 P(t,$\sqrt{t^{2}+1}$) における接線は　 $$\displaystyle y-\sqrt{t^{2}+1}=\frac{t}{\sqrt{t^{2}+1}}(x-t).$$　 この直線と x 軸との交点を Q(q,0) とすると、　 $$\displaystyle -\sqrt{t^{2}+1}=\frac{t}{\sqrt{t^{2}+1}}(q-t)$$　 より tq=-1、すなわち q=-$\displaystyle \frac{1}{t}$ である。R=(t,0) であり、$t>0$ だから QR=t+$\displaystyle \frac{1}{t}$、また P から x 軸までの高さは $\sqrt{t^{2}+1}$ である。よって　 $$\displaystyle S(t)=\frac{1}{2}\left(t+\frac{1}{t}\right)\sqrt{t^{2}+1}.$$　 　 最小値を調べるため u=t^{2}>0 とおくと、　 $$\displaystyle S(t)^{2}=\frac{1}{4}\left(u^{2}+3u+3+\frac{1}{u}\right).$$　 ここで　 $$\displaystyle S(t)^{2}-\frac{27}{16}=\frac{(2u-1)^{2}(u+4)}{16u}\geq 0.$$　 等号は u=$\displaystyle \frac{1}{2}$、すなわち t=$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ のときに成り立つ。S(t)>0 なので、S(t) の最小値は $\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}$ である。　 　 (2) 0$\leq$ x$\leq$ 2$\pi$ では x$\geq$0 であり、$\sin$ x は [0,$\pi$] で非負、[$\pi$,2$\pi$] で非正だから、　 $$\displaystyle \int_{0}^{2\pi}|x\sin x|\,dx=\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx-\int_{\pi}^{2\pi}x\sin x\,dx.$$　 部分積分により原始関数は -x$\cos$ x+$\sin$ x である。したがって　 $$\displaystyle \int_{0}^{2\pi}|x\sin x|\,dx=[-x\cos x+\sin x]_{0}^{\pi}-[-x\cos x+\sin x]_{\pi}^{2\pi}=\pi-(-3\pi)=4\pi.$$　 　 (3) z=-1+i より z^{2}=-2i である。したがって　 $$a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}=(a_{0}-a_{1})+(a_{1}-2a_{2})i.$$　 (a_{0},a_{1},a_{2}) は 0 または 1 なので、8通りを調べると　 $$\begin{array}{c|c|c}\quad (a_{0},a_{1},a_{2})&a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}&\text{絶対値}\\\hline\quad (0,0,0)&0&0\\\quad (0,0,1)&-2i&2\\\quad (0,1,0)&-1+i&\sqrt{2}\\\quad (0,1,1)&-1-i&\sqrt{2}\\\quad (1,0,0)&1&1\\\quad (1,0,1)&1-2i&\sqrt{5}\\\quad (1,1,0)&i&1\\\quad (1,1,1)&-i&1\quad \end{array}$$　 $\sqrt{5}$>2 であるから、絶対値が最大となる複素数は 1-2i である。