1横浜市立大学 2003年 数学 第1問解答・解説

(1) Aが勝つカードは，赤の13枚と，赤以外で番号が10以上のカード12枚である。したがって1回のゲームでAが勝つ確率は $\displaystyle \frac{13+3\cdot4}{52}=\frac{25}{52}$，Bが勝つ確率は $\displaystyle 1-\frac{25}{52}=\frac{27}{52}$ である。カードを毎回戻すので各回の勝敗は独立である。n回のうちAが勝つk回の選び方は $\displaystyle \binom{n}{k}$ 通りで，それぞれの確率は $\displaystyle \left(\frac{25}{52}\right)^k\left(\frac{27}{52}\right)^{n-k}$ だから，求める確率は $\displaystyle \binom{n}{k}\left(\frac{25}{52}\right)^k\left(\frac{27}{52}\right)^{n-k}$ である（$n,k$ は整数，$0\leq k\leq n$）。　 (2) Aから最初に進める線分はAD，AEの2本で，それぞれの確率は $\displaystyle \frac12$ である。まずADを進んだ場合を考える。DではADを再び使えないので，次の候補DC，DE，DFのうち1本を選び，各確率は $\displaystyle \frac13$ である。Aへ戻る経路は，DからEへ進んでEからAへ進む場合，またはDからF，FからE，EからAと進む場合に限られる。前者ではEに着いたときDEを使っているため，EA，EB，EFの3本が候補であり，EAを選ぶ確率は $\displaystyle \frac13$ である。後者ではFでDFを使った後の候補がFB，FC，FEの3本，さらにEでEFを使った後の候補がEA，EB，EDの3本となる。したがって，ADを最初に進んだときAへ戻る確率は $\displaystyle \frac13\cdot\frac13+\frac13\cdot\frac13\cdot\frac13=\frac{4}{27}$ である。図の線分の配置は，Aを通る対称軸に関してDとEを入れ替える対称性をもつので，最初にAEを進んだ場合もAへ戻る確率は $\displaystyle \frac{4}{27}$ である。よってウは $\displaystyle \frac12\cdot\frac{4}{27}+\frac12\cdot\frac{4}{27}=\frac{4}{27}$ となる。　 同じ対称性でAを固定してBとCを入れ替えると，Bに到達する確率とCに到達する確率は等しい。また，動きは有限本の線分を重複なくたどり，DではC，EではB，FではBまたはCへ向かう未使用線分が残っているため，必ずA，B，Cのいずれかで終了する。したがってBとCに到達する確率の和は $\displaystyle 1-\frac{4}{27}=\frac{23}{27}$ であり，エは $\displaystyle \frac12\cdot\frac{23}{27}=\frac{23}{54}$ である。