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東北大学／2003年度

東北大学 2003年 数学 第3問解答・解説

場合の数と確率統計的な推測

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1問題

東北大学2003年度第3問

ある人がバス停AでA発B行きのバスに乗り、バス停BでB発C行きのバ

スに乗りかえてバス停 C へ向かうものとする。バスの発車時刻，バス停での待ち時間，バスの乗車時間は次の 5 つの条件を満たすものとする。

1. A 発 B 行きおよび B 発 C 行きのバスは同時刻に 3 分おきで発車している。 2. バス停 A での待ち時間は 0 分または 1 分または 2 分で, それぞれの起こる確率は 13\displaystyle \frac{1}{3} である。 3. バス停 B に到着後, 最初に発車する C 行きのバスに乗りかえる。 4. A 発 B 行きのバスの乗車時間は 8 分または 10 分で, それぞれの起こる確率は 12\displaystyle \frac{1}{2} である。 5. B 発 C 行きのバスの乗車時間は 6 分または 7 分で, それぞれの起こる確率は 12\displaystyle \frac{1}{2} である。

ただし，条件2，4，5において，待ち時間，乗車時間の起こり方は独立であるとする。

この人がバス停 A に到着後バス停 C へ到着するまでにかかる時間が n 分である確率 P(n)P(n) を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • P(n)={112,n=15,21,16,n=16,17,18,19,20,0,それ以外.\displaystyle P(n)=\begin{cases} \dfrac1{12},&n=15,21,\\ \dfrac16,&n=16,17,18,19,20,\\ 0,&\text{それ以外}. \end{cases}

3解答

解答を見る途中式つきの解答

Aへの到着時刻を0分とし、Aでの待ち時間をW（0,1,2 のいずれか）、AからBまでの乗車時間をX（8,10 のいずれか）、BからCまでをY（6,7 のいずれか）とする。A発のバスが時刻Wに出発する。両方向のバスは同時刻に3分おきに発車するので、B発のバスの発車時刻もW+3k (k は整数)である。X=8ならB到着はW+8分であり、次のB発バスはW+9分に出る。X=10ならB到着はW+10分であり、次のB発バスはW+12分に出る。したがって、次の表の時刻に乗り換え、C到着時刻はその時刻にYを加えたものとなる。WXB発C行きの出発時刻Y=6のときnY=7のときn08W+9=9151618W+9=10161728W+9=111718010W+12=121819110W+12=131920210W+12=142021独立性より、(W,X,Y)の3⋅2⋅2=12通りはそれぞれ確率13⋅12⋅12=112である。表から、P(n)={112,n=15,21,16,n=16,17,18,19,20,0,それ以外となる。確率の和も112+5⋅16+112=1である。\displaystyle \begin{gathered} Aへの到着時刻を 0 分とし、Aでの待ち時間を W\text{（}0,1,2\text{ のいずれか）}、AからBまでの乗車時間を X\text{（}8,10\text{ のいずれか）}、BからCまでを Y\text{（}6,7\text{ のいずれか）} とする。\\ A発のバスが時刻 W に出発する。両方向のバスは同時刻に3分おきに発車するので、B発のバスの発車時刻も W+3k\ (k\text{ は整数}) である。\\ X=8 ならB到着は W+8 分であり、次のB発バスは W+9 分に出る。X=10 ならB到着は W+10 分であり、次のB発バスは W+12 分に出る。したがって、次の表の時刻に乗り換え、C到着時刻はその時刻に Y を加えたものとなる。\\[4pt] \begin{array}{c|c|c|c|c} W&X&B発C行きの出発時刻&Y=6 のとき n&Y=7 のとき n\\ \hline 0&8&W+9=9&15&16\\ 1&8&W+9=10&16&17\\ 2&8&W+9=11&17&18\\ 0&10&W+12=12&18&19\\ 1&10&W+12=13&19&20\\ 2&10&W+12=14&20&21 \end{array}\\ 独立性より、(W,X,Y) の 3\cdot2\cdot2=12 通りはそれぞれ確率 \frac13\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac1{12} である。表から、\\ P(n)=\begin{cases} \dfrac1{12},&n=15,21,\\ \dfrac16,&n=16,17,18,19,20,\\ 0,&それ以外 \end{cases}\\ となる。確率の和も \frac1{12}+5\cdot\frac16+\frac1{12}=1 である。 \end{gathered}

この問題で使う考え方

  • 確率の基本法則
  • 独立な試行
  • 確率変数と確率分布

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