2東北大学 2003年 数学 第2問解答・解説

高校範囲　 座標平面上に三角形を置き、内分点を座標で表す。垂直条件は内積0で判定し、最後は整数比と $\sqrt{13}$ の無理性で矛盾を示す。

$A=(0,0)$、$B=(1,0)$、$C=(1,\sqrt3)$ と置く。この配置は $AB=1$、$AC=2$、$\angle A=60^\circ$ を満たす。$s=m+n$ とする。各辺を記載順に $m:n$ に内分するから $$\displaystyle D=\left(1,\frac{\sqrt3m}{s}\right),\quad E=\left(\frac ns,\frac{\sqrt3n}{s}\right),\quad F=\left(\frac ms,0\right).$$ 従って $$\displaystyle \overrightarrow{DE}=\left(-\frac ms,\frac{\sqrt3(n-m)}s\right),\qquad \overrightarrow{EF}=\left(\frac{m-n}s,-\frac{\sqrt3n}s\right).$$

(1) $$\displaystyle \overrightarrow{DE}\cdot\overrightarrow{EF} =\frac{(m-n)(3n-m)}{(m+n)^2}.$$ 垂直条件は内積0なので $$(m-n)(3n-m)=0.$$ $m,n>0$ より、比は $$\boxed{m:n=1:1\quad\text{または}\quad3:1}.$$

(2) $$\displaystyle \overrightarrow{AD}=\left(1,\frac{\sqrt3m}{s}\right), \quad \overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{EF} =\frac{m^2-n^2-3mn}{(m+n)^2}.$$ 仮に正整数 $m,n$ で垂直とすると、内積0から $$m^2-3mn-n^2=0, \quad (2m-3n)^2=13n^2.$$ $n>0$ なので $\sqrt{13}=|2m-3n|/n$ は有理数となる。しかし $\sqrt{13}$ は無理数（既約分数 $p/q$ と仮定して二乗すると13が $p$ を割り、さらに $q$ も割る矛盾）。従って内積は0にならず、どの正整数 $m,n$ に対しても $$\boxed{\overrightarrow{AD}\not\perp\overrightarrow{EF}}.$$

独立判定　 (1)の比2種類と(2)の非直交を導出し、数学はPASS。単元：平面図形・ベクトル、整数の性質。方法：座標化、内分公式、内積、無理数による背理法。テーマ：三角形の内分点ベクトルの直交条件。