I横浜市立大学 2017年 数学 第I問解答・解説

(1) 分子と分母にユークリッドの互除法を用いると、$$298767=2\cdot148953+861,\qquad 148953=173\cdot861,\qquad 347=2\cdot173+1.$$したがって最大公約数は861であり、分子・分母を861で割ると$$\displaystyle \frac{148953}{298767}=\frac{173}{347}.$$さらに $347=2\cdot173+1$ より $173$ と $347$ は互いに素なので、これは既約分数である。

(2) 区間$\pi/3\le x\le\pi/2$では$\cos 2x\ne0$である。$u=\cos x$とおくと、$du=-\sin x\,dx$、また$\cos 2x=2\cos^2x-1=2u^2-1$より、$$\displaystyle \int_{\pi/3}^{\pi/2}\frac{\sin x}{\cos 2x}\,dx=\int_0^{1/2}\frac{du}{2u^2-1}.$$ここで$a=1/\sqrt2$とおけば、$$\displaystyle \frac{1}{2u^2-1}=\frac{1}{2(u-a)(u+a)}=\frac{1}{2\sqrt2}\left(\frac{1}{u-a}-\frac{1}{u+a}\right).$$よって$$\displaystyle \int_0^{1/2}\frac{du}{2u^2-1}=\frac{1}{2\sqrt2}\left[\ln\left|\frac{u-a}{u+a}\right|\right]_0^{1/2}=-\frac{\ln(1+\sqrt2)}{\sqrt2}.$$

(3) 点$A$を原点とし、$AB$と$AD$をそれぞれ$x$軸、$y$軸の正の向きにとり、$C$の$z$座標が正となるように$z$軸を選ぶ。このとき$$A=(0,0,0),\quad B=(1,0,0),\quad D=(0,2\sqrt2,0).$$角の条件から、$C$の$x$座標は$AC\cos45^\circ=1$、$y$座標は$AC\cos60^\circ=1/\sqrt2$である。さらに$|AC|^2=2$より$z$座標は$1/\sqrt2$だから、$C=(1,1/\sqrt2,1/\sqrt2)$である。球の中心を$O=(p,q,r)$とする。$OA=OB$、$OA=OD$より$p=1/2$、$q=\sqrt2$となる。また$OA=OC$より$2O\cdot C=|C|^2=2$であるから$$\displaystyle 2\left(\frac12+1+\frac{r}{\sqrt2}\right)=2,\quad r=-\frac{1}{\sqrt2}.$$したがって$$\displaystyle R^2=OA^2=p^2+q^2+r^2=\frac14+2+\frac12=\frac{11}{4},$$ゆえに半径は$\sqrt{11}/2$である。

(4) 合成関数の微分より$$\displaystyle f'(x)=\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}.$$$t=e^{-x}>0$とおくと$(t-1)^2\ge0$より$(1+t)^2\ge4t$、したがって$$\displaystyle f'(x)=\frac{t}{(1+t)^2}\le\frac14.$$等号は$t=1$、すなわち$x=0$で成立するため、導関数の最大値は$1/4$である。

小問(1)は互除法の最初の除法を正して既約分数を求める。小問(2)は余弦置換、小問(3)は角条件から座標化して球心の等距離条件、小問(4)はt=e^(−x)と不等式で最大を確認する。