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名古屋大学／2004年度

名古屋大学 2004年 数学 第4選択肢a,b問解答・解説

図形と計量数学と人間の活動（整数）

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1問題

名古屋大学2004年度第4選択肢a,b問

第4問は選択問題である。つぎの④(a)または別紙の④(b)のいずれか一方を選んで解答せよ。 4 (a) C1C_{1} , C2C_{2} , C3C_{3} は, 半径がそれぞれ a, a, 2 a の円とする。いま, 半径 1 の円 C にこれらが内接していて, C1C_{1} , C2C_{2} , C3C_{3} は互いに外接しているとき, a の値を求めよ。 第4問は選択問題である。つぎの④(b)または別紙の④(a)のいずれか一方を選んで解答せよ。 4 (b) 正の整数 a と b が互いに素であるとき, 正の整数からなる数列 {xn}\{x_{n}\} を x1=x2=1x_{1}=x_{2}=1, xn+1=axn+bxn−1(n≧2)x_{n+1}=ax_{n}+bx_{n-1}(n\geq2) で定める。このときすべての正の整数 n に対して xn+1x_{n+1} と xnx_{n} が互いに素であることを示せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

解答 (a) 大円の中心をO、半径2aの円の中心をG、半径aの2円の中心をU,Vとする。OU=OV=1−aOU=OV=1-a、OG=1−2aOG=1-2a、UV=2aUV=2a、UG=VG=3aUG=VG=3a。OとGはUVの垂直二等分線上にある。座標を O=(0,0),U=(s,a),V=(s,−a)O=(0,0), U=(s,a), V=(s,-a) と置くと s2=1−2as^2=1-2a。Gは同一直線上で、g=±(1−2a)g=\pm(1-2a) の座標をもつ。小円中心と大円中心の距離条件から ∣s−g∣=22a|s-g|=2\sqrt2 a。g=1−2ag=1-2a と仮定し、t=1−2at=\sqrt{1-2a} とおくと、0<t<10<t<1 であり、 t=2(1+t)t=\sqrt2(1+t) となり不可能。ゆえに g=−(1−2a)g=-(1-2a)。同じ置換で t+t2=2(1−t2)t+t^2=\sqrt2(1-t^2)。正の解は t=2−2t=2-\sqrt2 なので a=(1−t2)/2=(42−5)/2a=(1-t^2)/2=(4\sqrt2-5)/2。

(b) x1=x2=1x_1=x_2=1、xn+1=axn+bxn−1x_{n+1}=a x_n+b x_{n-1} とする。xn+1≡axn(modb)x_{n+1}\equiv a x_n\pmod b より、n≧2n\ge2 で xn≡an−2(modb)x_n\equiv a^{n-2}\pmod b。gcd⁡(a,b)=1\gcd(a,b)=1 なので gcd⁡(xn,b)=1\gcd(x_n,b)=1。したがって gcd⁡(xn+1,xn)=gcd⁡(axn+bxn−1,xn)=gcd⁡(bxn−1,xn)=gcd⁡(xn−1,xn).\gcd(x_{n+1},x_n)=\gcd(a x_n+b x_{n-1},x_n)=\gcd(bx_{n-1},x_n)=\gcd(x_{n-1},x_n). これを繰り返し、初期値の gcd⁡(x2,x1)=1\gcd(x_2,x_1)=1 に帰着する。

編集ラベル - 単元: 数学I・図形と計量、数学A・整数 - 方法: 円の中心の座標化、三平方の定理、合同式、ユークリッドの互除法 - テーマ: 円の接触配置、漸化式で保たれる互いに素性

この問題で使う考え方

  • 座標設定
  • 三平方の定理
  • 合同式
  • ユークリッドの互除法

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