2名古屋大学 2004年 数学 第2問解答・解説

(1) 左辺の3式には $$3(x+y-2z)-2(2x-y-z)+(x-5y+4z)=0$$ という関係がある。従って解が存在するための必要条件は、右辺にも同じ関係が成り立つこと、すなわち $$3(3a)-2(3b)+3c=0,\qquad 3a-2b+c=0$$ である。

この条件のもとで、最初の2式を加えると $x-z=a+b$ となる。$z=t$ とおくと $x=a+b+t$ であり、最初の式から $y=2a-b+t$ を得る。3番目の式は、上記の条件から最初の2式と同じ関係を満たすので自動的に成り立つ。従って全解は $$(x,y,z)=(a+b+t,\ 2a-b+t,\ t)\qquad(t\text{ は実数})$$ である。逆にこの形の組は最初の2式を満たし、条件 $3a-2b+c=0$ により3番目の式も満たすので、条件は十分でもある。

(2) 共通解を $(x,y,z)$ とする。上の一般解の形から、任意の実数 $s$ に対し $(x+s,y+s,z+s)$ も方程式(i)の解である。これが方程式(ii)も満たす条件は $$(x+s)^2+(y+s)^2+(z+s)^2=1.$$ もとの共通解では $x^2+y^2+z^2=1$ なので、整理すると $$s\bigl(3s+2(x+y+z)\bigr)=0.$$ $s=0$ は元の共通解に対応する。もし $x+y+z\ne0$ なら、これとは異なる $\displaystyle s=-\frac23(x+y+z)$ も解となり、共通解が2つできてしまう。唯一性に反するため $x+y+z=0$ である。従って $z=-x-y$ であり、方程式(ii)から $$1=x^2+y^2+z^2=x^2+y^2+(x+y)^2=2x^2+2xy+2y^2.$$ よって求める関係が成り立つ。