4信州大学 2014年 数学 第4問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1)}\quad \vec a=(2,1,1),\ \vec b=(2,s,t),\ \vec c=(p,q,2).\\ |\vec a|^2=6,\quad |\vec b|^2=4+s^2+t^2.\quad |\vec a|=|\vec b|\ \text{より}\ s^2+t^2=2.\\ \vec a\cdot\vec b=4+s+t,\quad \cos 60^\circ=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}=\frac{4+s+t}{6}.\\ \text{したがって}\ 4+s+t=3,\quad s+t=-1.\\ (s+t)^2=s^2+t^2+2st\ \text{より}\ 1=2+2st,\quad st=-\frac12.\\ s,t\text{ は }X^2+X-\frac12=0\text{ の2根なので、}\quad \{s,t\}=\left\{\frac{-1+\sqrt3}{2},\frac{-1-\sqrt3}{2}\right\}.\\ \vec a\cdot\vec c=0,\quad \vec b\cdot\vec c=0\text{ より}\quad 2p+q+2=0,\quad 2p+sq+2t=0.\\ q=-2p-2\text{ を代入すると }(1-s)p=s-t,\quad p=\frac{s-t}{1-s},\quad q=-2p-2.\\ (s,t)=\left(\frac{-1+\sqrt3}{2},\frac{-1-\sqrt3}{2}\right)\text{ のとき }(p,q)=(1+\sqrt3,-4-2\sqrt3).\\ (s,t)=\left(\frac{-1-\sqrt3}{2},\frac{-1+\sqrt3}{2}\right)\text{ のとき }(p,q)=(1-\sqrt3,-4+2\sqrt3).\\ \text{したがって、上記の2組が全解である。}\\[3mm]\text{(2)}\quad 2^k\text{ の最上位の桁が }1\text{ であることは、ある整数 }m\ge0\text{ に対し }10^m\le2^k<2\cdot10^m\text{ と同値。}\\ m\log_2 10\le k<m\log_2 10+1\text{ だから、この範囲に入る整数 }k\text{ は、}m\log_2 10\text{ 以上の最小の整数、ただ1個である。}\\ 0\le k\le n\text{ を満たす条件は }m\log_2 10\le n\text{、すなわち }0\le m\le[n\log_{10}2].\\ m\text{ は }0\text{ から }[n\log_{10}2]\text{ までの整数なので、個数は }[n\log_{10}2]+1\text{ 個。}$$