信州大学 2014年数学第6問解答・解説

微分法積分法

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1問題

信州大学2014年度第6問

関数 f(x) は，f''(x) < 0 をみたすとする。t ≧ 0 のとき，次の (1)，(2) の不等式が成り立つことを示せ。

(1) f(0) + f'(t)t ≦ f(t) ≦ f(0) + f'(0)t (2) (f(0)t + f(t)t)/2 ≦ ∫_0^t f(u) du ≦ f(0)t + (f'(0)/2)t^2

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
f(0)+f′(t)t≦f(t)≦f(0)+f′(0)t
(2)
$\displaystyle \frac{f(0)t+f(t)t}{2}\le\int_0^t f(u)\,du\le f(0)t+\frac{f'(0)t^2}{2}$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$f''<0$ から平均値の定理により $f'$ は減少する。(1)では $0\le u\le t$ に対する $f'(t)\le f'(u)\le f'(0)$ を積分する。(2)の上側は(1)の上側を各uに適用して積分する。下側は $0<u<t$ に平均値の定理を $0\le x\le u$ と $u\le x\le t$ のそれぞれの範囲に適用し、 $f'$ の減少性から前半の割線の傾きが後半以上となるため、グラフが両端を結ぶ線分以上にあることを示す。それを積分して台形の面積 $\displaystyle \frac{f(0)t}{2}+\frac{f(t)t}{2}$ を得る。 $t=0$ は等号。

この問題で使う考え方

平均値の定理
f''の符号からf'の単調性を導く
導関数の範囲評価を定積分する
割線の傾きを比べて弦による評価を示す

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