3大分大学 2019年 数学 第3問解答・解説

(1) $h(x)=f(x)e^{-x}$ とおく。積の微分と仮定から $$h'(x)=f'(x)e^{-x}-f(x)e^{-x}=e^{-x}(f'(x)-f(x))=0$$ が全実数で成り立つ。任意の $x_1<x_2$ に平均値の定理を適用すると、$x_1<c<x_2$ を満たすある実数 $c$ について $h(x_2)-h(x_1)=h'(c)(x_2-x_1)=0$。よって $h$ は定数関数であり、求める結論を得る。

(2) $h(x)=g(x)e^{-x}$ とおくと $$h'(x)=e^{-x}(g'(x)-g(x))=x^2e^{-x}.$$ $h(0)=g(0)=0$ だから、微積分の基本定理により $x>0$ で $$\displaystyle g(x)e^{-x}=h(x)-h(0)=\int_0^x t^2e^{-t}\,dt>0.$$ 最後の不等号は、被積分関数が $0<t<x$ で正であることによる。$e^x>0$ を掛けて $g(x)>0$ を得る。