1香川大学 2019年 数学 第1問解答・解説

(1) 頂点が $P(\cos\theta,\sin\theta)$ なので、$f(x)=a(x-\cos\theta)^2+\sin\theta$ とおける。原点を通る条件から $a\cos^2\theta+\sin\theta=0$。ここで $\cos\theta>0$ より、$$\displaystyle a=-\frac{\sin\theta}{\cos^2\theta}.$$ したがって、$$\displaystyle f(x)=-\frac{\sin\theta}{\cos^2\theta}(x-\cos\theta)^2+\sin\theta=\frac{\sin\theta}{\cos^2\theta}x(2\cos\theta-x).$$

(2) $\sin\theta>0$、$\cos\theta>0$ であり、$f(x)=0$ の解は $x=0,2\cos\theta$。また $0<x<2\cos\theta$ では $f(x)>0$ だから、回転体の体積は円板法により$$\displaystyle \begin{aligned}V&=\pi\int_0^{2\cos\theta}f(x)^2\,dx\\&=\frac{\pi\sin^2\theta}{\cos^4\theta}\int_0^{2\cos\theta}x^2(2\cos\theta-x)^2\,dx\\&=\frac{\pi\sin^2\theta}{\cos^4\theta}\left[\frac{4\cos^2\theta}{3}x^3-\cos\theta x^4+\frac{x^5}{5}\right]_0^{2\cos\theta}\\&=\frac{16\pi}{15}\cos\theta\sin^2\theta.\end{aligned}$$

(3) $\displaystyle V(\theta)=\frac{16\pi}{15}\cos\theta\sin^2\theta$ を微分すると、$$\displaystyle V'(\theta)=\frac{16\pi}{15}\sin\theta(2\cos^2\theta-\sin^2\theta)=\frac{16\pi}{15}\sin\theta(2-3\sin^2\theta).$$ $\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$ では $\sin\theta>0$ であり、$\sin^2\theta$ は増加する。よって $V'(\theta)>0$ は $\displaystyle \sin^2\theta<\frac23$ のとき、$V'(\theta)<0$ は $\displaystyle \sin^2\theta>\frac23$ のときである。したがって $\displaystyle \sin^2\theta=\frac23$、すなわち $\displaystyle \sin\theta=\sqrt{\frac23}$、$\displaystyle \cos\theta=\frac1{\sqrt3}$ となる点で最大となり、$$\displaystyle V_{\max}=\frac{16\pi}{15}\cdot\frac1{\sqrt3}\cdot\frac23=\frac{32\pi}{45\sqrt3}.$$