3徳島大学 2025年 数学 第3問解答・解説

(1) $q=2x-x^2$ とおくと、$0<x<2$ で $$\displaystyle f'(x)=1+\frac{1-x}{\sqrt q}.$$ よって $0<x\leq1$ では $f'(x)>0$ である。$1<x<2$ では $$\displaystyle f'(x)=\frac{\sqrt q-(x-1)}{\sqrt q}$$ だから、$\sqrt q$ と $x-1$ を比較する。両者は正であり、 $$q-(x-1)^2=-2x^2+4x-1$$ は $\displaystyle x=1+\frac1{\sqrt2}$ で符号が正から負に変わる。したがって $f$ は $\displaystyle 0\leq x\leq1+\frac1{\sqrt2}$ で増加し、$\displaystyle 1+\frac1{\sqrt2}\leq x\leq2$ で減少する。 $$\displaystyle f(0)=0,\quad f(2)=2,\quad f\left(1+\frac1{\sqrt2}\right)=1+\sqrt2.$$ ゆえに最大値は $1+\sqrt2$、最小値は $0$ である。

(2) $H$ は $P$ の直線 $y=x$ への垂線の足なので、 $$\displaystyle H\left(\frac{x+f(x)}2,\frac{x+f(x)}2\right).$$ また $f(x)-x=\sqrt{2x-x^2}\geq0$ であるから、直線 $y=x$ までの距離は $$\displaystyle r=\frac{f(x)-x}{\sqrt2}=\sqrt{\frac{2x-x^2}{2}}.$$ 点 $H$ は $y=x$ 上にあり、その座標は正だから、 $$\displaystyle t=OH=\sqrt2\,\frac{x+f(x)}2=\frac{2x+\sqrt{2x-x^2}}{\sqrt2}.$$

(3) $\ell$ と $y=-x+3$ の交点は $\displaystyle A=(\frac32,\frac32)$ である。$B$ については $$2x+\sqrt{2x-x^2}=3.$$ $\sqrt{2x-x^2}=3-2x\geq0$ を満たす範囲で両辺を平方すると $$\displaystyle 5x^2-14x+9=0,\quad x=1,\frac95.$$ $\displaystyle \frac95>\frac32$ なので不適であり、$B=(1,2)$ となる。$A,B$ はともに $x+y=3$ 上にあるため、線分 $AB$ は回転軸 $\ell$ に垂直である。領域を軸に垂直な平面で切ると、各断面は曲線 $OB$ までを半径とする円となる。

曲線 $OB$ 上では $0\leq x\leq1$ であり、 $$\displaystyle t=\frac{2x+\sqrt{2x-x^2}}{\sqrt2},\qquad \frac{dt}{dx}=\frac1{\sqrt2}\left(2+\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}\right)>0.$$ したがって $t$ は $0$ から $\displaystyle \frac3{\sqrt2}$ まで動く。断面積を積分すると $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi\int_0^{3/\sqrt2}r^2\,dt\\ &=\frac{\pi}{2\sqrt2}\int_0^1(2x-x^2)\left(2+\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}\right)dx\\ &=\frac{\pi}{2\sqrt2}\left(2\int_0^1(2x-x^2)dx+\int_0^1(1-x)\sqrt{2x-x^2}\,dx\right). \end{aligned}$$ ここで $$\displaystyle 2\int_0^1(2x-x^2)dx=\frac43,\qquad \int_0^1(1-x)\sqrt{2x-x^2}\,dx=\int_0^1u\sqrt{1-u^2}\,du=\frac13$$ である。よって $$\displaystyle V=\frac{\pi}{2\sqrt2}\left(\frac43+\frac13\right)=\boxed{\frac{5\sqrt2\pi}{12}}.$$